Question

若數(shù)列{a_n}滿足：a₁=

2

3

，a₂=2，3（a_n+1-2a_n+a_n-1）=2，
（1）證明：數(shù)列{a_n+1-a_n}是等差數(shù)列；
（2）求使

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＞

5

2

成立的最小正整數(shù)n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）令b_n=a_n+1-a_n，則b_n-1=a_n-a_n-1，由已知得（a_n+1-a_n）-（a_n-a_n-1）=

2

3

，由此能證明數(shù)列{a_n+1-a_n}是首項(xiàng)為

4

3

，公差為

2

3

的等差數(shù)列．
（2）由a_n+1-a_n=

4

3

+(n-1)•

2

3

=

2

3

(n+1)，利用累加法得a_n=

2

3

+

2

3

（2+3+4+…+n）=

n2+n

3

，從而

1

an

=

3

n(n+1)

=3（

1

n

-

1

n+1

），由此利用裂項(xiàng)法能求出使

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＞

5

2

成立的最小正整數(shù)n．

解答： （1）證明：令b_n=a_n+1-a_n，
則b_n-1=a_n-a_n-1，
∵3（a_n+1-2a_n+a_n-1）=2，
∴a_n+1-2a_n+a_n-1=

2

3

，
∴a_n+1-a_n-a_n+a_n-1=

2

3

，
（a_n+1-a_n）-（a_n-a_n-1）=

2

3

，
∴b_n-b_n-1=

2

3

，
又a₂-a₁=2-

2

3

=

4

3

，
∴數(shù)列{a_n+1-a_n}是首項(xiàng)為

4

3

，公差為

2

3

的等差數(shù)列．
（2）解：由（1）得a_n+1-a_n=

4

3

+(n-1)•

2

3

=

2

3

(n+1)，
∴a_n=a₁+a₂-a₁+a₃-a₂+…+a_n-a_n-1
=

2

3

+

2

3

（2+3+4+…+n）
=

n2+n

3

，
∴

1

an

=

3

n(n+1)

=3（

1

n

-

1

n+1

），
∴

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=3（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=3（1-

1

n+1

）
=

3n

n+1

，
∵

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＞

5

2

，
∴

3n

n+1

＞

5

2

，
解得n＞5，
又n為正整數(shù)，∴n最小為6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的證明，考查滿足條件的最上正整數(shù)n的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．