Question

已知橢圓C₁的中心為原點O，離心率e=

2

2

，其一個焦點在拋物線C₂：y²=2px的準線上，若拋物線C₂與直線l：x-y+

2

=0相切．
（Ⅰ）求該橢圓的標準方程；
（Ⅱ）當點Q（u，v）在橢圓C₁上運動時，設(shè)動點P（2v-u，u+v）的運動軌跡為C₃．若點T滿足：

OT

=

MN

+2

OM

+

ON

，其中M，N是C₃上的點，直線OM與ON的斜率之積為-

1

2

，試說明：是否存在兩個定點F₁，F(xiàn)₂，使得|TF₁|+|TF₂|為定值？若存在，求F₁，F(xiàn)₂的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）先確定拋物線的方程，再求出該橢圓的標準方程；
（Ⅱ）先確定運動軌跡為C₃的方程，由

OT

=

MN

+2

OM

+

ON

得M，N，P坐標之間的關(guān)系，根據(jù)直線OM與ON的斜率之積為-

1

2

，可知：T點是橢圓

x2

60

+

y2

30

=1上的點，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（I）由

y2=2px x-y+ 2 =0

⇒y2-2py+2

2

p=0，
∵拋物線C₂：y²=2px與直線l：x-y+

2

=0相切，
∴△=4p2-8

2

p=0⇒p=2

2

…（2分）
∴拋物線C₂的方程為：y2=4

2

x，其準線方程為：x=-

2

，
∴c=

2

．
∵離心率e=

2

2

，
∴e=

c

a

=

2

2

，
∴a=2，b²=a²-c²=2，
故橢圓的標準方程為

x2

4

+

y2

2

=1．…（5分）
（II）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x'，y'），T（x，y）
則

x′=2v-u y′=u+v

⇒

u= 1 3 (2y′-x′) v= 1 3 (x′+y′)

，
∵當點Q（u，v）在橢圓C₁上運動時，動點P（2v-u，u+v）的運動軌跡C₃，
∴

u2

4

+

v2

2

=1⇒[

1

3

(2y′-x′)]2+2[

1

3

(x′+y′)]2=4，
∴x'²+2y'²=12，
∴C₃的軌跡方程為：x²+2y²=12…（7分）
由

OT

=

MN

+2

OM

+

ON

得（x，y）=（x₂-x₁，y₂-y₁）+2（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=（x₁+2x₂，y₁+2y₂），
∴x=x₁+2x₂，y=y₁+2y₂．
設(shè)k_OM，k_ON分別為直線OM，ON的斜率，由題設(shè)條件知kOM•kON=

y1y2

x1x2

=-

1

2

，
因此x₁x₂+2y₁y₂=0，…（9分）
∵點M，N在橢圓x²+2y²=12上，
∴

x

2 1

+2

y

2 1

=12，

x

2 2

+2

y

2 2

=12，
故x2+2y2=(

x

2 1

+4

x

2 2

+4x1x2)+2(

y

2 1

+4

y

2 2

+4y1y2)
=(

x

2 1

+2

y

2 1

)+4(

x

2 2

+2

y

2 2

)+4(x1x2+2y1y2)=60+4(x1x2+2y1y2)．
∴x²+2y²=60，從而可知：T點是橢圓

x2

60

+

y2

30

=1上的點，
∴存在兩個定點F₁，F(xiàn)₂，且為橢圓

x2

60

+

y2

30

=1的兩個焦點，使得|TF₁|+|TF₂|為定值，其坐標為F1(-

30

，0)，F2(

30

，0)．       …（13分）

點評：本題考查橢圓、拋物線的標準方程，考查代入法求軌跡方程，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．