Question

8．已知△ABC中，AC=2，AB=4，AC⊥BC，點P滿足$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AC}$+y$\overrightarrow{AB}$，x+2y=1，則$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）的最小值等于（　　）

• A． -2
• B． -$\frac{28}{9}$
• C． -$\frac{25}{8}$
• D． -$\frac{7}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)AC⊥BC便可分別以CB，CA為x軸，y軸，建立平面直角坐標系，并可求出點A，B，C的坐標，可取AB的中點D，從而根據(jù)條件有$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AC}+2y\overrightarrow{AD}$，且x+2y=1，這樣即可得出點P在直線CD上，可求出直線CD的方程為$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$，從而可以設(shè)$P（x，\frac{\sqrt{3}}{3}x）$，這樣即可求出向量$\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$的坐標，進行向量數(shù)量積的坐標運算便可得出$\overrightarrow{PA}•（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）=\frac{8}{3}{x}^{2}-\frac{10\sqrt{3}}{3}x$，配方即可求出該二次函數(shù)的最小值．

解答 解：分別以CB，CA為x，y軸，建立如圖所示平面直角坐標系；
∵在Rt△ABC中，AC=2，AB=4，∴BC=$2\sqrt{3}$；
∴$A（0，2），B（2\sqrt{3}，0）$，C（0，0）；
取AB的中點D，則$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AD}$；
∴由$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AC}+y\overrightarrow{AB}$得，$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AC}+2y\overrightarrow{AD}$；
又x+2y=1；
∴C，P，D三點共線，即點P在直線CD上；
∵$D（\sqrt{3}，1）$；
∴直線CD的方程為$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$；
∴設(shè)$P（x，\frac{\sqrt{3}}{3}x）$，則：$\overrightarrow{PA}=（-x，2-\frac{\sqrt{3}}{3}x）$，$\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=（2\sqrt{3}-x，-\frac{\sqrt{3}}{3}x）+（-x，-\frac{\sqrt{3}}{3}x）$=$（2\sqrt{3}-2x，-\frac{2\sqrt{3}}{3}x）$；
∴$\overrightarrow{PA}•（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）$=$-x（2\sqrt{3}-2x）+\frac{2}{3}{x}^{2}$$-\frac{4\sqrt{3}}{3}x$
=$\frac{8}{3}{x}^{2}-\frac{10\sqrt{3}}{3}x$
=$\frac{8}{3}（x-\frac{5\sqrt{3}}{8}）^{2}-\frac{25}{8}$；
∴$x=\frac{3\sqrt{3}}{8}$時，$\overrightarrow{PA}•（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）$取最小值$-\frac{25}{8}$．
故選：C．

點評 考查通過建立平面直角坐標系，利用向量坐標解決向量問題的方法，能求平面上點的坐標，中點坐標公式，直線的點斜式方程，根據(jù)點的坐標可求向量的坐標，以及向量數(shù)量積的坐標運算，知道當A，B，C三點共線的充要條件為$\overrightarrow{OB}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OC}$，且x+y=1，以及配方求二次函數(shù)最值的方法．