已知函數(shù)f（x）=2ax+
1
x
（a∈R）．
（1）當(dāng)0＜a≤
1
2
時(shí)，試判斷f（x）在（0，1]上的單調(diào)性并用定義證明你的結(jié)論；
（2）對(duì)于任意的x∈（0，1]，使得f（x）≥6恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：（1）利用定義證明即可，
（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的最值，需要分類討論，問(wèn)題得以解決
解答： 解：（1）f（x）在（0，1]上的單調(diào)性遞減，
理由如下：
設(shè)x1，x2∈（0，1]，且x1＜x2，
則f（x1）-f（x2）=2ax1+
1
x1
-2ax2-
1
x2
=2a（x1-x2）+
x2-x1
x1x2
=
x2-x1
x1x2
（1-2ax1x2），
∵x1，x2∈（0，1]，且x1＜x2，0＜a≤
1
2
，
∴x2-x1＞0，0＜x1•x2＜1，0＜2ax1x2＜1，1-2ax1x2＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，
∴f（x）在（0，1]上的單調(diào)性遞減，
（2）∵f（x）=2ax+
1
x
，
∴f′（x）=2a-
1
x2
=
2ax2-1
x2
，
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）在（0，1]單調(diào)遞減，
∴f（x）min=f（1）=2a≥6，
解得a≤3，
∴a≤0時(shí)，對(duì)于任意的x∈（0，1]，使得f（x）≥6恒成立，
②當(dāng)a＞0時(shí)，
令f′（x）=0，解得x=
1
2a
，
當(dāng)f′（x）＞0，即x＞
1
2a
，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0，即0＜x＜
1
2a
，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)
1
2a
≥1時(shí)，即0＜a≤
1
2
時(shí)，f（x）在（0，1]上的單調(diào)性遞減，
∴f（x）min=f（1）=2a≥6恒成立
解得a≤3，
當(dāng)
1
2a
＜1時(shí)，即a＞
1
2
時(shí)，
∴f（x）在（0，
1
2a
]上的單調(diào)遞減，在（
1
2a
，1）上單調(diào)遞增，
∴f（x）min=f（
1
2a
）=2a•
1
2a
+
2a
≥6恒成立，
解得a≥
9
2
，
綜上所述實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，
1
2
]∪[
9
2
，+∞）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值問(wèn)題，以及求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
2
x-1
．
（1）證明：函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上為減函數(shù)；
（2）求函數(shù)在區(qū)間[2，4]上的最值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知集合A={x|x2-3x-4≤0}，B={x|x=
3
2k-1
，x∈Z，k∈Z}，則A∩B=（　�。�
A、{-1，1}
B、{-1，1，3}
C、{-3，-1，1}
D、{-3，-1，1，3}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在三棱錐A-BCD中，BC=CD=DB，AB=AC=AD；E，F(xiàn)為棱BD，AD的中點(diǎn)，若EF⊥CF，則直線BD與平面ACD所成的角為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)f（x）=xlog2x-3的零點(diǎn)所在區(qū)間為（k，k+1）（k∈Z），則k的值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

對(duì)于下列命題：
①命題“?x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“?x∈R，x2+1≤3x”；
②在△ABC中“∠A＞∠B”的 充要條件是“sinA＞sinB”；
③設(shè)a=sin
2014π
3
，b=cos
2014π
3
，c=tan
2014π
3
，則c＞a＞b；
④將函數(shù)y=2sin（3x+
π
6
）圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，再向左平移
π
6
個(gè)單位，得到函數(shù)y=2sin（x+
π
3
）圖象．
其中真命題的個(gè)數(shù)是（　�。�
A、4B、1C、2D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知
a
，
b
的夾角為120°，|
a
|=2，|
b
|=3，記|
m
=3
a
-2
b
，
n
=2
a
+k
b
．
（1）若
m
⊥
n
，求實(shí)數(shù)k的值．
（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使得
m
∥
n
？說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)y=f（x）的圖象在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的，且滿足f（a）•f（b）＜0（a，b∈R，a＜b），則函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)（　�。�
A、無(wú)零點(diǎn)
B、有且只有一個(gè)零點(diǎn)
C、至少有一個(gè)零點(diǎn)
D、無(wú)法確定有無(wú)零點(diǎn)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x-2m2+m+3（m∈Z）為偶函數(shù)，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-2x]（a＞0且a≠1），求g（x）在（2，3]上值域．

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