Question

已知橢圓C的方程為+=1（a＞b＞0），雙曲線-=1的兩條漸近線為l₁、l₂，過橢圓C的右焦點F作直線l，使l⊥l₁，又l與l₂交于P點，設(shè)l與橢圓C的兩個交點由上至下依次為A、B．（如圖）
（1）當(dāng)l₁與l₂夾角為60°，雙曲線的焦距為4時，求橢圓C的方程；
（2）當(dāng)=λ時，求λ的最大值．

Answer 1

解：（1）∵雙曲線的漸近線為y=±x，兩漸近線夾角為60°，
又＜1，∴∠POx=30°，即=tan30°=．
∴a=b．
又a²+b²=4，
∴a²=3，b²=1．
故橢圓C的方程為+y²=1．
（2）由已知l：y=（x-c），與y=x解得P（，），
由=λ得A（，）．
將A點坐標(biāo)代入橢圓方程得（c²+λa²）²+λ²a⁴=（1+λ）²a²c²．
∴（e²+λ）²+λ²=e²（1+λ）²．
∴λ²==-[（2-e²）+]+3≤3-2．
∴λ的最大值為-1．
分析：（1）要求橢圓方程即求a、b的值，根據(jù)l₁與l₂的夾角為60°可以得=，由雙曲線的距離為4可以得a²+b²=4，進(jìn)而解關(guān)于a，b的方程組可以得a、b，寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）根據(jù)=λ，欲求λ的最大值，需求A、P的坐標(biāo)，而P是l與l₁的交點，故需求l的方程．將l與l₂的方程聯(lián)立可求得P的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得點A的坐標(biāo)．將A的坐標(biāo)代入橢圓方程可求得λ的最大值．
點評：本題考查圓錐曲線的共同特征，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查雙曲線的應(yīng)用，考查函數(shù)的最值，本題是一個綜合題目．