Question

下列對于函數(shù)y=sinx+cosx的命題中，正確命題的序號為     ．
①存在，使；②存在，使f（x+α）=f（x+3α）；③存在θ∈R使函數(shù)f（x+θ）的圖象關(guān)于y軸對稱；④函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點對稱．

Answer 1

【答案】分析：化簡函數(shù)y=sinx+cosx為sin（x+），確定函數(shù)的值域，判斷①的錯誤；找出特殊值判斷②；函數(shù)的對稱軸判斷③的正誤；代入函數(shù)成立，說明④正確．
解答：解：函數(shù)y=sinx+cosx=sin（x+），時 y∈（1，]，因為（1，]，所以①正確．
f（x+α）=f（x+3α）說明2α是函數(shù)的周期，函數(shù)f（x）的周期為2π，顯然②不正確；
③存在θ∈R使函數(shù)f（x+θ）的圖象關(guān)于y軸對稱，函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，并且有對稱軸，適當(dāng)平移即可滿足題意，所以正確．
④函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點對稱，當(dāng)x=時f（）=0，滿足題意，所以正確．
故答案為：①③④
點評：本題是綜合題目，考查正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)，能夠充分利用已知條件，靈活解題是關(guān)鍵，考查分析問題解決問題的能力．