Question

設(shè)f(x)=

x2-4x+6，x≥0 2x+4，x＜0

若存在互異的三個實數(shù)x₁，x₂，x₃，使f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），則x₁+x₂+x₃的取值范圍是

（3，4）

．

Answer 1

分析：先作出函數(shù)f（x）的圖象，利用圖象分別確定x₁，x₂，x₃，的取值范圍．

解答：解：不妨設(shè)x₁＜x₂＜x₃，當(dāng)x≥0時f（x）=（x-2）²+2，
此時二次函數(shù)的對稱軸為x=2，最小值為2，
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
由2x+4=2得x=-1，由f（x）=（x-2）²+2=4時，解得x=2-

2

或x=2+

2

，
所以若f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），
則-1＜x₁＜0，2-

2

＜x2＜2，2＜x3＜2+

2

，且

x2+x3

2

=2，即x₂+x₃=4，
所以x₁+x₂+x₃=4+x₁，
因為-1＜x₁＜0，所以3＜4+x₁＜4，
即x₁+x₂+x₃的取值范圍是（3，4）．
故答案為：（3，4）．

點評：本題主要考查利用函數(shù)的交點確定取值范圍，利用數(shù)形結(jié)合，是解決本題的關(guān)鍵．