Question

已知函數(shù)f（x）=log_a

1-mx

x-1

是奇函數(shù)（a＞0，a≠1）．
（1）求m的值；
（2）判斷f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性；
（3）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，若對(duì)于[3，4]上的每一個(gè)x的值，不等式f（x）＞（

1

2

）^x+b恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用奇函數(shù)的定義找關(guān)系求解出字母的值，注意對(duì)多解的取舍．
（2）利用y=

x+1

x-1

=1+

2

x-1

，可得在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，即可得出結(jié)論．
（3）將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，用到了分離變量的思想．

解答： 解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x）．
∴

1+mx

-x-1

=

x-1

1-mx

＞0，
∴1-m²x²=1-x²，
∴m=±1．
檢驗(yàn)m=1（舍），∴m=-1．
（2）由（1）知f（x）=log_a

x+1

x-1

令y=

x+1

x-1

=1+

2

x-1

，則在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減
∴a＞1時(shí)，f（x）在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；0＜a＜1時(shí)，f（x）在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減．
（3）對(duì)[3，4]于上的每一個(gè)x的值，不等式f（x）＞（

1

2

）^x+b恒成立，即f（x）-（

1

2

）^x＞b恒成立．
令g（x）=f（x）-（

1

2

）^x．只需g（x）_min＞b，
又易知g（x）=f（x）-（

1

2

）^x在[3，4]上是增函數(shù)，
∴g（x）_min=g（3）=-

9

8

．
∴b＜-

9

8

時(shí)原式恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題是以對(duì)數(shù)函數(shù)為載體考查函數(shù)基本性質(zhì)的小綜合題，用到了函數(shù)奇偶性，函數(shù)單調(diào)性的定義．恒成立問題中求字母的取值范圍問題往往通過分離變量轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想．