Question

設(shè)平面向量

a

=（cosx，sinx），

b

=（cosx+2

3

，sinx），

c

=（sina，cosa），x∈R．
（1）若

a

⊥

b

，求cos2x的值；
（2）若x∈（0，

π

2

），證明

a

和

b

不可能平行；
（3）若a=0，求函數(shù) f（x）=

a

•(

b

-2

c

)的最大值，并求出相應(yīng)的x值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用向量垂直的條件：數(shù)量積為0，化簡整理，再由二倍角的余弦公式，計算即可得到；
（2）運(yùn)用反證法，結(jié)合向量共線的坐標(biāo)表示，即可得證；
（3）運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和兩角差的正弦公式，結(jié)合正弦函數(shù)的值域，即可得到．

解答： （1）解：若

a

⊥

b

，則

a

•

b

=0，
即cosx（cosx+2

3

）+sin²x=0，
即（cos²x+sin²x）+2

3

cosx=0，
即1+2

3

cosx=0，可得cosx=-

3

6

，
則cos（2x）=2cos²x-1=2×(-

3

6

)2-1=-

5

6

；
（2）證明：假設(shè)

a

和

b

平行，則cosxsinx-sinx（cosx+2

3

）=0
則2

3

sinx=0即sinx=0，
而x∈（0，

π

2

）時，sinx＞0，矛盾．
∴

a

和

b

不可能平行；
（3）解：若a=0，則

c

=（0，1）．
f（x）=

a

•（

b

-2

c

）=

a

•

b

-2

a

•

c

=cos²x+2

3

cosx+sin²x-2sinx
=1-2sinx+2

3

cosx
=1-4sin（x-

π

3

）
則當(dāng)x-

π

3

=2kπ-

π

2

，即x=2kπ-

π

6

（k∈Z）時，
sin（x-

π

3

）取得最小值-1，f（x）_max=5．

點(diǎn)評：本題主要考查向量平行和垂直的條件，同時考查三角函數(shù)的化簡和求值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．