Question

17．如圖，四邊形ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=∠DAB=90°，CD=2AB，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD，Q是PC的中點．
（1）求證：BQ∥平面PAD；
（2）探究在過BQ且與底面ABCD相交的平面中是否存在一個平面α，把四棱錐P-ABCD截成兩部分，使得其中一部分為一個四個面都是直角三角形的四面體，若存在，求平面PBC與平面α所成銳二面角的余弦值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）取PD的中點F，連結(jié)AF、FQ，推導(dǎo)出四邊形ABQF為平行四邊形，由此能證明BQ∥平面PAD．
（2）設(shè)過BQ的平面與平面PCD交于QE，E為△PCD的邊與平面α的交點，當(dāng)E為CD的中點時，四面體Q-BCE的四個面都是直角三角形，BQ⊥面PCD，BQ⊥QE，BQ⊥QC，∠EQC是截面α與平面QBC所成二面角的平面角，由此能求出平面PBC與平面α所成銳二面角的余弦值．

解答 證明：（1）取PD的中點F，連結(jié)AF、FQ
∵Q為PC的中點，則FQ為△PCD的中位線，
∴FQ∥CD，且FQ=$\frac{1}{2}$CD，
又∵AB∥CD，且AB=$\frac{1}{2}$CD，∴FQ∥AB，且FQ=AB，
∴四邊形ABQF為平行四邊形，BQ∥AF，
又∵AF?平面PAD，BQ?平面PAD，
∴BQ∥平面PAD．
（2）設(shè)過BQ的平面與平面PCD交于QE，E為△PCD的邊與平面α的交點，
當(dāng)E為CD的中點時，四面體Q-BCE的四個面都是直角三角形．
證明如下：
∵當(dāng)E為CD的中點時，則DE∥AB，且DE=AB，∴四邊形ABED是平行四邊形，
∴BE∥AD，又∠ADC=90°，∴∠BEC=90°，
∴△BEC為直角三角形，
∵在△PAD中，AD=AP，F(xiàn)為PD的中點，∴AF⊥PD，
又∵PA⊥平面ABCD，CD在平面ABCD內(nèi)，∴PA⊥CD，
又CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，
∴∠FDC=90°，又QE∥PD，∴∠CEQ=90°，∴△CEQ為直角三角形，
又∵AF?面PAD，∴AF⊥CD，又PD∩CD=D，∴AF⊥面PCD，
由BQ∥AF，得BQ⊥面PCD，由CQ，EQ都在平面PCD內(nèi)，
∴BQ⊥CQ，BQ⊥EQ，
∴四面體Q-BCE的四個面都為直角三角形，
∴BQ⊥面PCD，BQ⊥QE，BQ⊥QC，
∴∠EQC是截面α與平面QBC所成二面角的平面角，
設(shè)PA=AB=AD=1，由PD=$\sqrt{2}$，QE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，PC=$\sqrt{6}$，CQ=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
在Rt△QEC中，cos∠EQC=$\frac{EQ}{QC}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴平面PBC與平面α所成銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查滿足條件的平面是否存在的探究及求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．