Question

某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B及CD的中點(diǎn)P處，已知AB＝20 km，BC＝10 km，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD的區(qū)域上(含邊界)，且A、B與等距離的一點(diǎn)O處建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道AO、BO、OP，設(shè)排污管道的總長(zhǎng)為y km．

(1)按下列要求寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系式：

①設(shè)∠BAO＝θ(rad)，將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式；

②設(shè)OP＝x(km)，將y表示成x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)請(qǐng)你選用(1)中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長(zhǎng)度最短．

Answer 1

答案：
解析：

本小題考查函數(shù)的概念、解三角形、導(dǎo)數(shù)等基本知識(shí)，考查數(shù)學(xué)建模能力、抽象概括能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力． 　　(1)①由條件知PQ垂直平分AB，若∠BAO＝θ(rad)，則， 　　故 　　又，所以 　　所求函數(shù)關(guān)系式為 　　②若OP＝x(km)，則OQ＝10－x，所以 　　所求函數(shù)關(guān)系式為 　　(2)選擇函數(shù)模型①， 　　令得 　　當(dāng)時(shí)，y是θ的減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，y是θ的增函數(shù)； 　　所以當(dāng)時(shí)， 　　此時(shí)點(diǎn)O位于線段AB的中垂線上，且距離AB邊km處．