Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓x²+y²-12x+32=0的圓心為Q，過(guò)點(diǎn)P（0，2）且斜率為k的直線(xiàn)與圓Q相交于不同的兩點(diǎn)A，B
（1）求k的取值范圍；
（2）已知|PA|＜|PB|，求當(dāng)k等于何值時(shí)，使得|PB|取得最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系

專(zhuān)題：直線(xiàn)與圓

分析：（1）先把圓的方程整理成標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而求得圓心，設(shè)出直線(xiàn)方程代入圓方程整理后，根據(jù)判別式大于0求得k 的范圍，
（2）由圖象可知當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心Q，與圓相交時(shí)，PB的長(zhǎng)度最大，即可求出k的值．

解答： 解：（1）圓的方程可寫(xiě)成（x-6）²+y²=4，所以圓心為Q（6，0），過(guò)P（0，2）
且斜率為k的直線(xiàn)方程為y=kx+2．
代入圓方程得x²+（kx+2）²-12x+32=0，
整理得（1+k²）x²+4（k-3）x+36=0． ①
直線(xiàn)與圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B等價(jià)于△=[4（k-3）²]-4×36（1+k²）=4²（-8k²-6k）＞0，
解得-

3

4

＜k＜0，即k的取值范圍為（-

3

4

，0）．
（2）由圖象可知當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心Q，與圓相交時(shí)，PB的長(zhǎng)度最大，
此時(shí)直線(xiàn)y=kx+2過(guò)Q（6，0），
則6k+2=0，解得k=-

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)和圓的 位置關(guān)系的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．