已知：集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體：在定義域內(nèi)存在x0，使得f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立．

(1)函數(shù)f(x)＝是否屬于集合M？說明理由；

(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝lg，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)證明：函數(shù)f(x)＝2x＋x2∈M．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)f(x)＝的定義域?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/5428/0025/35c52a5fdb18a23982e63dca9afac89c/C/Image40.gif" width=117 height=22>，

　　令，整理得x2＋x＋1＝0，Δ＝－3＜0，

　　因此，不存在x使得f(x＋1)＝f(x)＋f(1)成立，所以f(x)＝；　3分

　　(Ⅱ)f(x)＝lg的定義域?yàn)镽，f(1)＝lg，a＞0，

　　若f(x)＝lgM，則存在x∈R使得lg＝lg＋lg，

　　整理得存在x∈R使得(a2－2a)x2＋2a2x＋(2a2－2a)＝0．

　　(1)若a2－2a＝0即a＝2時(shí)，方程化為8x＋4＝0，解得x＝－，滿足條件：

　　(2)若a2－2a≠0即a時(shí)，令Δ≥0，解得a∈，綜上，a∈[3－，3＋]；　7分

　　(Ⅲ)f(x)＝2x＋x2的定義域?yàn)镽，

　　令2x＋1＋(x＋1)2＝(2x＋x2)＋(2＋1)，整理得2x＋2x－2＝0，

　　令g(x)＝2x＋2x－2，所以g(0)·g(1)＝－2＜0，

　　即存在x0∈(0，1)使得g(x)＝2x＋2x－2＝0，

　　亦即存在x0∈R使得2x＋1＋(x＋1)2＝(2x＋x2)＋(2＋1)，故f(x)＝2x＋x2∈M．　10分


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：在定義域內(nèi)存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．
（1）函數(shù)f(x)=
1
x
是否屬于集合M？說明理由；
（2）設(shè)函數(shù)f(x)=lg
a
x2+1
∈M，求a的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)y=2x圖象與函數(shù)y=-x的圖象有交點(diǎn)，證明：函數(shù)f（x）=2x+x2∈M．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：存在非零常數(shù)k，對(duì)定義域中的任意x，等式f（kx）=
k2
+f（x）恒成立．現(xiàn)有兩個(gè)函數(shù)：f（x）=ax+b（a≠0），g（x）=log2x，則函數(shù)f（x）、g（x）與集合M的關(guān)系為
f（x）∉M，g（x）∈M
f（x）∉M，g（x）∈M
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知集合M是滿足下列條件的函數(shù)f（x）的全體：（1）當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，函數(shù)值為非負(fù)實(shí)數(shù)；（2）對(duì)于任意的s、t，都有f（s）+f（t）≤f（s+t）；在三個(gè)函數(shù)f1（x）=x，f2（x）=2x-1，f3（x）=ln（x+1）中，屬于集合M的是
f1（x）=x
f1（x）=x
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2014屆北京市高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué) 題型：解答題

已知：集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：在定義域內(nèi)存在x，使得

f（x＋1）＝f（x）＋f（1）成立。

（1）函數(shù)f（x）＝是否屬于集合M？說明理由；

（2）設(shè)函數(shù)f（x）＝lg，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）證明：函數(shù)f（x）＝2＋xM。

 

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