Question

（本小題滿分13分）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知為整數(shù)，且在前項(xiàng)和中最大.

（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè).

（1）求證：； （2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）（1）見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

試題分析: （Ⅰ）因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和中最大，，為整數(shù)，所以公差是負(fù)整數(shù)，且，所以，結(jié)合是整數(shù)，求得公差，再求出通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）先求出，（1）利用做差比較法可知是遞減數(shù)列，進(jìn)而證得結(jié)論；（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031606040068201278/SYS201503160604039322921891_DA/SYS201503160604039322921891_DA.011.png">，所以，，利用錯(cuò)位相減法求得數(shù)列的前項(xiàng)和.等差數(shù)列與等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成新數(shù)列求和，要用錯(cuò)位相減法.

試題解析：（Ⅰ）由為整數(shù)知，等差數(shù)列的公差為整數(shù)， 1分

又，故，即， 3分

解得 ， 4分

因此， 5分

數(shù)列的通項(xiàng)公式為. 6分

（Ⅱ）（1）由題意知，∴， 8分

∴數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，的最大項(xiàng)為，所以 9分

，

，

兩式相減得， 11分

∴ 13分

考點(diǎn)：①求數(shù)列通項(xiàng)公式；②數(shù)列的單調(diào)性；③數(shù)列求和.