Question

已知在△ABC中，tanA=

1

2

，tanB=

1

3

，且最長邊的長度為1，求：
（1）∠C的大��；
（2）△ABC最短邊的長．

Answer 1

考點：正弦定理的應用,兩角和與差的正切函數

專題：計算題,三角函數的求值,解三角形

分析：（1）先由tanA，tanB利用兩角和公式求得tan（A+B），再根據C=180°-A-B，求得tanC，進而得到C=

3π

4

，推斷C為三角形中的最大角；
（2）根據tanA＞tanB推斷B為最小角．根據3tanB=1求得sinB，再由正弦定理求得b．

解答： 解：（1）△ABC中，tanA=

1

2

，tanB=

1

3

，
∵tanA＞tanB＞0，
∴0＜B＜A＜

π

2

，
∴tanC=tan（π-A-B）=-tan（A+B）
=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-1，
而0＜C＜π，
∴C=

3π

4

．
（2）最大角為C，最小角為B，它所對的邊b為最短邊，
∵tanB=

sinB

cosB

=

sinB

1-sin2B

=

1

3

，
∴sinB=

10

10

，
由正弦定理得

b

sinB

=

c

sinC

=

1

2 2

，
∴b=

2

sinB=

2

×

10

10

=

5

5

．

點評：本題主要考查了正弦定理和同角三角函數的關系在解三角形中的應用．解此題的關鍵是判斷出最大角和最小角．