Question

已知點A（1，1）是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩焦點，且滿足|AF₁|+|AF₂|=4．
（1）求橢圓的兩焦點坐標；
（2）設點B是橢圓上任意一點，如果|AB|最大時，求證A、B兩點關于原點O不對稱；
（3）設點C、D是橢圓上兩點，直線AC、AD的傾斜角互補，試判斷直線CD的斜率是否為定值？若是定值，求出定值；若不是定值，說明理由．

Answer 1

分析：（I）先由橢圓定義知：2a=4，再把（1，1）代入得即可求得橢圓方程，從而求得兩焦點坐標；
（II）用反證法：假設A、B兩點關于原點O對稱，則B點坐標為（-1，-1），再取橢圓上一點M（-2，0），從而此時|AB|不是最大，這與|AB|最大矛盾，所以命題成立．
（III）設AC方程為：y=k（x-1）+1，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合點A（1，1）在橢圓上C，D兩點的坐標，從而求得直線CD的斜率為定值．

解答：解：（I）由橢圓定義知：2a=4，∴a=2，∴

x2

4

+

y2

b2

=1
把（1，1）代入得

1

4

+

1

b2

=1∴b2=

4

3

，則橢圓方程為

x2

4

+

y2

4 3

=1，
∴c2=a2-b2=4-

4

3

=

8

3

，∴c=

2 6

3

故兩焦點坐標為(

2 6

3

，0)，(-

2 6

3

，0)（4分）

（II）用反證法：假設A、B兩點關于原點O對稱，則B點坐標為（-1，-1），
此時|AB|=2

2

取橢圓上一點M（-2，0），則|AM|=

10

.∴|AM|＞|AB|．
從而此時|AB|不是最大，這與|AB|最大矛盾，所以命題成立．（8分）

（III）設AC方程為：y=k（x-1）+1
聯(lián)立

y=k(x-1)+1 x2 4 + 3 4 y2=1

消去y得（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0
∵點A（1，1）在橢圓上∴xC=

3k2-6k-1

3k2+1

（10分）
∵直線AC、AD傾斜角互補
∴AD的方程為y=-k（x-1）+1
同理xD=

3k2+6k-1

3k2+1

（11分）
又y_c=k（x_C-1）+1，y_D=-k（x_D-1）+1，y_C-y_D=k（x_C+x_D）-2k
所以kCD=

yC-yD

xC-xD

=

1

3

即直線CD的斜率為定值

1

3

（13分）

點評：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題、橢圓的簡單性質、橢圓方程等基礎知識，考查運算求解能力、轉化思想．屬于中檔題．