Question

已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足對任意x都有f（1-x）=f（1+x），當x∈[0，1]時，f（x）=x²，若方程f（x）-ax=0在區(qū)間[2k-1，2k+1]（k∈N⁺且k為常數(shù)）有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是

 

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Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：由已知的等式求得函數(shù)周期，再由當x∈[0，1]時，f（x）=x²求得函數(shù)f（x）在區(qū)間[2k-1，2k+1]上的解析式，數(shù)形結合列式求得方程f（x）-ax=0在區(qū)間[2k-1，2k+1]（k∈N⁺且k為常數(shù)）有兩個不相等的實數(shù)根的實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：在f（1-x）=f（1+x）中，以x+1代x，得f（-x）=f（x+2），
又f（x）為偶函數(shù)，則f（x+2）=f（x），
∴f（x）是周期為2的周期函數(shù)，且對稱軸方程為x=1．
當x∈[0，1]時，f（x）=x²，則和的圖象如圖，

函數(shù)f（x）在區(qū)間[2k-1，2k+1]上的解析式為f（x）=（x-2k）²，
要使方程f（x）-ax=0在區(qū)間[2k-1，2k+1]（k∈N⁺且k為常數(shù)）有兩個不相等的實數(shù)根，
則

a＞0 (2k+1-2k)2≥a(2k+1)

，解得：0＜a≤

1

2k+1

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故答案為：0＜a≤

1

2k+1

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點評：本題考查了函數(shù)奇偶性的性質，考查了數(shù)學結合的解題思想方法，是中檔題．