Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，．
（Ⅰ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-ag（x），若x∈（0，2），函數(shù)F（x）不存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，如果對于任意實(shí)數(shù)x∈（1，t]，都有不等式tG（x）-xG（t）≤G（x）-G（t）成立，求實(shí)數(shù)t的最大值．

Answer 1

解：（I）由，得，
當(dāng)a≤0時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0（x＞0），此時(shí)F（x）在（0，2）上無極值，
當(dāng)a＞0時(shí)，所以F（x）在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，
所以要使得F（x）在（0，2）上不存在極值，只要，即，
綜合以上兩種情況可得．（6分）
（II）不等式tG（x）-xG（t）≤G（x）-G（t）等價(jià)于（t-1）G（x）≤（x-1）G（t），
等價(jià)于，即…（8分）
設(shè)函數(shù)，問題等價(jià)于h（x）≤h（t）在（1，t]上恒成立，
即h（t）為h（x）的最大值，而，所以，（12分）
故h（x）在區(qū)間（e，+∞）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，e）上單調(diào)遞增，
因此t≤e，即實(shí)數(shù)t的最大值為e． （14分）
分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)可得，分當(dāng)a≤0，和a＞0兩種情形來考慮，綜合可得a的范圍；
（Ⅱ）經(jīng)過多次等價(jià)轉(zhuǎn)化，問題等價(jià)于，設(shè)函數(shù)，問題等價(jià)于h（x）≤h（t）在（1，t]上恒成立，求導(dǎo)數(shù)可得h（x）的單調(diào)性，進(jìn)而可得最值，可得結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性和極值問題，涉及等價(jià)轉(zhuǎn)化法，屬中檔題．