已知過點(diǎn)A(0,1)且方向向量為
a
=(1,k)
的直線l與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1相交于M,N兩點(diǎn).
(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn),且
OM
ON
=12
,求k的值.
分析:(1)由已知可設(shè)直線l的方程為y=kx+1,聯(lián)立直線方程和圓的方程,根據(jù)直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn),故方程有兩個(gè)不等的交點(diǎn),即△>0,進(jìn)而可得實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(2)設(shè)出M,N的坐標(biāo),由(1)中方程及韋達(dá)定理,結(jié)合
OM
ON
=x1•x2+y1•y2,可構(gòu)造關(guān)于k的方程,解方程可得答案.
解答:解:(1)直線l過點(diǎn)A(0,1)且方向向量為
a
=(1,k)

∴直線l的方程為y=kx+1
將其代入圓C:(x-2)2+(y-3)2=1得:
(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0…①
若直線l與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1相交于M,N兩點(diǎn)
則△=16(1+k)2-28(1+k2)>0
解得
4-
7
3
<k<
4+
7
3

(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則由①得
x1+x2=
4+4k
1+k2
x1x2=
7
1+k2

OM
ON
=x1•x2+y1•y2=(1+k2)x1•x2+k(x1+x2)+1=
4k(1+k)
1+k2
+8=12
∴k=1
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,直線與圓的位置關(guān)系,(1)的關(guān)鍵是由直線與圓交點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷聯(lián)立所得方程有兩個(gè)不等根,(2)的關(guān)鍵是根據(jù)向量數(shù)量積構(gòu)造關(guān)于k的方程.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知過點(diǎn)A(0,1),且方向向量為
a
=(1,k)
的直線l與⊙C:(x-2)2+(y-3)2=1,相交于M、N兩點(diǎn).
(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(2)求證:
AM
AN
=定值;
(3)若O為坐標(biāo)原點(diǎn),且
OM
ON
=12,求k的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知過點(diǎn)A(0,1)斜率為k的直線l與圓(x-2)2+(y-3)2=1相交于M,N兩點(diǎn).
①求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
②求線段MN的中點(diǎn)軌跡方程;
③求證:
AM
AN
為定值;
④若O為坐標(biāo)原點(diǎn),且
OM
ON
=12
,求k的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知過點(diǎn)A(0,1)的直線l,斜率為k,與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1相交于M、N兩個(gè)不同點(diǎn).
(1)求實(shí)數(shù)k取值范圍;
(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn),且
OM
ON
=12
,求k的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知過點(diǎn)A(0,1)的直線l與拋物線C:y=x2交于M,N兩點(diǎn),又拋物線C在M,N兩點(diǎn)處的兩切線交于點(diǎn)B,M,N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2
(1)求x1x2的值;
(2)求B點(diǎn)的縱坐標(biāo)t的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知過點(diǎn)A(0,1),B(4,a)且與x軸相切的圓只有一個(gè),求a的值及所對(duì)應(yīng)的圓的方程.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案