Question

已知函數f（x）=cosx（sinx+cosx）-

1

2

（1）若0＜α＜

π

2

，且sinα=

2

2

，求f（α）的值
（2）當x∈（-

5π

24

，

7π

24

）時，求函數f（x）的值域．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,同角三角函數基本關系的運用

專題：三角函數的求值

分析：（1）化簡可得f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

），由題意易得α=

π

8

，代值計算可得；
（2）由（1）知f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

），由x∈（-

5π

24

，

7π

24

）結合三角函數值域計算可得．

解答： 解：（1）化簡可得f（x）=cosx（sinx+cosx）-

1

2

=sinxcosx+cos²x-

1

2

=

1

2

（2sinxcosx+2cos²x-1）
=

1

2

（sin2x+cos2x）=

2

2

sin（2x+

π

4

），
∵0＜α＜

π

2

，且sinα=

2

2

，
∴sin（2α+

π

4

）=1，∴α=

π

8

，
∴f（α）=

2

2

sin（

π

4

+

π

4

）=

2

2

，
（2）由（1）知f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

），
∵x∈（-

5π

24

，

7π

24

），∴2x+

π

4

∈（-

π

6

，

5π

6

），
∴sin（2x+

π

4

）∈（-

1

2

，1]，
∴f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

）∈（-

2

4

，

2

2

]，
∴函數f（x）的值域為：（-

2

4

，

2

2

]，

點評：本題考查三角函數恒等變換，涉及三角函數的值域，屬基礎題．