Question

已知過點(diǎn)P （

3

，0）的直線l交圓O：x²+y²=1于A、B兩點(diǎn)，且

PA

=2

PB

，則△AOB的面積為（　　）

• A．

  1

  4

• B．

  2

  4

• C．

  3

  4

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：由點(diǎn)P （

3

，0），

PA

=2

PB

，可知點(diǎn)B為線段PA的中點(diǎn)，于是

OB

=

1

2

(

OA

+

OP

)，即

OP

=2

OB

-

OA

，兩端平方后可求得

OA

•

OB

的值，從而可求得cos∠AOB，利用S_△AOB=

1

2

|

OA

|•|

OB

|sin∠AOB即可求得其值．

解答：解：∵點(diǎn)P （

3

，0），且

PA

=2

PB

，
∴點(diǎn)B為線段PA的中點(diǎn)，
∴

OB

=

1

2

(

OA

+

OP

)，
整理得：

OP

=2

OB

-

OA

，
上式兩端平方后得：|

OP

|2=4|

OB

|2-4

OA

•

OB

+|

OA

|2，又|

OP

|=

3

，|

OA

|=

|OB

|=1，
∴3=4-4•

OA

•

OB

+1，整理得：

OA

•

OB

=|

OA

|•

|OB

|•cos∠AOB=

1

2

，
∴cos∠AOB=

1

2

，又∠AOB為三角形AOB中的一個內(nèi)角，
∴∠AOB=

π

3

．
S_△AOB=

1

2

|

OA

|•|

OB

|sin∠AOB=

1

2

•1•1•

3

2

=

3

4

．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，難點(diǎn)在于從向量的角度進(jìn)行研究，解決問題的關(guān)鍵點(diǎn)在于得到

OB

=

1

2

(

OA

+

OP

)之后，整理得：

OP

=2

OB

-

OA

，然后兩邊平方，從而使解決問題之路順暢起來，屬于難題．