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6.已知函數(shù)f(x)=x3-ax2-3x.
(1)若a=4時(shí),求f(x)在x∈[1,4]上的最大值和最小值;
(2)若f(x)在x∈[2,+∞]上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)求導(dǎo)數(shù),確定函數(shù)在[1,3]上單調(diào)遞減,[3,4]上單調(diào)遞增,即可求f(x)在x∈[1,4]上的最大值和最小值;
(2)在x∈[2,+∞]上,f′(x)=3x2-2ax-3≥0可得a≤3x232x 在x∈[2,+∞]上恒成立,只要求 3x232x 的最小值即可得到a的取值范圍.

解答 解:(1)a=4時(shí),f(x)=x3-4x2-3x,
∴f′(x)=3x2-8x-3,
∴函數(shù)在[1,3]上單調(diào)遞減,[3,4]上單調(diào)遞增,
∴f(x)在x∈[1,4]上的最大值為f(1)=-6,最小值為f(3)=-18;
(2)在x∈[2,+∞]上,f′(x)=3x2-2ax-3≥0,
可得a≤3x232x 在x∈[2,+∞]上恒成立,
∴只要求 3x232x 的最小值即可,而y=3x232x
y′=6x2+64x2恒大于零,
∴y在R上為增函數(shù),∴ymin=94,
∴a≤94

點(diǎn)評(píng) 本題考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的能力,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的能力.

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