Question

已知AB和CD是曲線C：

x=4t2 y=4t

（t為參數(shù)）的兩條相交于點P（2，2）的弦，若AB⊥CD，且|PA|•|PB|=|PC|•|PD|．
（1）將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程，并說明它表示什么曲線；
（2）試求直線AB的方程．

Answer 1

考點：參數(shù)方程的優(yōu)越性,參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（1）直接消去參數(shù)t，可得曲線C的普通方程，說明曲線特征即可．
（2）直線AB和CD的傾斜角為α、β，求出直線AB和CD的參數(shù)方程，與y²=4x聯(lián)立，由t的幾何意義以及韋達定理，通過由|PA|•|PB|=|PC|•|PD|．AB⊥CD求出直線AB的傾斜角，得到直線AB的方程．

解答： 解：（1）曲線C：

x=4t2 y=4t

（t為參數(shù)）消去t可得y²=4x，軌跡是頂點在原點對稱軸為x軸，焦點為（1，0）的拋物線．
（2）設(shè)直線AB和CD的傾斜角為α、β，
則直線AB和CD的參數(shù)方程分別為：

x=2+tcosα y=2+tsinα

…①和

x=2+t′cosβ y=2+t′sinβ

…②，
把①代入y²=4x中的：t²sin²α+（4sinα-4cosα）t-4=0，…③
依題意可知sinα≠0且方程③的△=16（sinα-cosα）²+16sin²α＞0
∴方程③有兩個不相等的實數(shù)根t₁，t₂
則t₁•t₂=

-4

sin2α

…④，
由t的幾何意義可知|PA|=|t₁|，|PB|=|t₂|，
|PA|•|PB|=|t₁•t₂|=

4

sin2α

…⑤，
同理，|PC|•|PD|=

4

sin2β

…⑥，
由|PA|•|PB|=|PC|•|PD|．
可知：

4

sin2α

=

4

sin2β

即sin²α=sin²β，∵0≤α，β＜π．
∴α=π-β，∵AB⊥CD∴β=α+90°或α=β+90°
∴直線AB的傾斜角為

π

4

或

3π

4

．
∴k_AB=1或-1，故直線AB的方程為：y=x或x+y-4=0．

點評：本題考查參數(shù)方程與直角坐標方程的互化，參數(shù)方程的幾何意義是解題的關(guān)鍵，體現(xiàn)參數(shù)方程的優(yōu)越性．