Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²（x∈R）的圖象過(guò)點(diǎn)P（-1，2），且在點(diǎn)P處的斜線斜率為-3，
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,有理數(shù)指數(shù)冪的化簡(jiǎn)求值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由條件可得切線的斜率，代入P點(diǎn)，得到a，b的方程，解得即可；
（2）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)的大于0，解二次不等式即可得到增區(qū)間．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=ax³+bx²的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3ax²+2bx，
由在點(diǎn)P處的斜線斜率為-3，即有3a-2b=-3，
f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)P（-1，2），即有-a+b=2，
解得a=1，b=3，
則f（x）=x³+3x²；
（2）函數(shù)f（x）=x³+3x²的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²+6x，
令f′（x）＞0，可得x＞0或x＜-2．
即有f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），（-∞，-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點(diǎn)處切線的斜率和二次不等式的解法是解題的關(guān)鍵．