Question

已知函數(shù)f（x）=x-2m2+m+3（m∈Z）為偶函數(shù)，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=log_a[f（x）-2x]（a＞0且a≠1），求g（x）在（2，3]上值域．

Answer 1

考點(diǎn)：冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用

專題：分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)題意，結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)，求出m的取值范圍，驗(yàn)證得出符合題意的m值即可；
（2）求出g（x）的解析式，討論a＞1和0＜a＜1時(shí)，求出函數(shù)g（x）的值域．

解答： 解：（1）因?yàn)閒（3）＜f（5），所以由冪函數(shù)的性質(zhì)得，-2m²+m+3＞0，
解得-1＜m＜

3

2

，
又因?yàn)閙∈Z，所以m=0或m=1，
當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=m³不是偶函數(shù)；
當(dāng)m=1時(shí)，f（x）=x²是偶函數(shù)，
所以m=1，f（x）=x²；
（2）由（1）知g（x）=log_a（x²-2x），
設(shè)t=x²-2x，x∈（2，3]，則t∈（0，3]，
此時(shí)g（x）在（2，3]上的值域，就是函數(shù)y=log_at，t∈（0，3]的值域；
當(dāng)a＞1時(shí)，y=log_at在區(qū)間（0，3]上是增函數(shù)，所以y∈（-∞，log_a3]；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y=log_at在區(qū)間（0，3]上是減函數(shù)，所以y∈[log_a3，+∞）；
所以當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)g（x）的值域?yàn)椋?∞，log_a3]，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g（x）的值域?yàn)閇log_a3，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了分類討論思想的應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題目．