Question

設(shè)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若任意k∈R，有|

OA

-

OB

-k

BC

| ≥ |

OA

-

OC

|，則△ABC的形狀一定是（　�。�

• A、銳角三角形
• B、直角三角形
• C、鈍角三角形
• D、不能確定

Answer 1

分析：由題意可得|

BA

-k

BC

|≥|

CA

|，兩邊平方化簡(jiǎn)可得，關(guān)于k的不等式 a²•k²-2ac•cosB•k+c²-b²≥0恒成立，
由判別式△≤0 化簡(jiǎn)可得 sin²B≥

b2

c2

，再由正弦定理求得 sin²C≥1，故有sinC=1，C=

π

2

，由此得出結(jié)論．

解答：解：∵O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若任意k∈R，有|

OA

-

OB

-k

BC

| ≥ |

OA

-

OC

|，即|

BA

-k

BC

|≥|

CA

|．
設(shè)△ABC的三邊分別為a、b、c，把不等式|

BA

-k

BC

|≥|

CA

|兩邊平方可得：
 

BA

2+k² 

BC

2-2k

BA

•

BC

≥

CA

2，即 a²•k²-2ac•cosB•k+c²-b²≥0．
由于k為任意實(shí)數(shù)，故關(guān)于k的不等式 a²•k²-2ac•cosB•k+c²-b²≥0恒成立．
故判別式△=4a²c²cos²B-4a²（c²-b²）≤0，化簡(jiǎn)可得 sin²B≥

b2

c2

．
再由正弦定理可得 sin²B≥

sin2B

sin2C

，∴sin²C≥1．
由于C為△ABC的內(nèi)角，故0＜sinC≤1，故只有 sinC=1，∴C=

π

2

．
故△ABC的形狀一定是直角三角形，
故選 B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的恒成立問題，正弦定理的應(yīng)用，兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬于中檔題．