(1)設(shè){an}是集合{2s+2t|0≤s<t且s,t∈Z}中所有的數(shù)從小到大排列成的數(shù)列,即a1=3,a2=5,a3=6,a4=9,a5=10,a6=12,…將數(shù)列{an}各項按照上小下大,左小右大的原則寫成如下的三角形數(shù)表:
3
5     6
9     10    12
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①寫出這個三角形數(shù)表的第四行、第五行各數(shù);
②求a100
(2)設(shè){bn}是集合{2r+2s+2t|0≤r<s<t,且r,s,t∈Z}中所有的數(shù)從小到大排列成的數(shù)列,已知bk=1160,求k.
【答案】分析:(1)①用(t,s)表示2t+2s,先利用前幾個數(shù)找到其規(guī)律,是每一個的橫坐標從0增加到對應(yīng)的行數(shù),而縱坐標為行數(shù),就可求出第四行、第五行各數(shù);
②解法一:因為100=(1+2+3+4++13)+9,所以可以知道a100位于第14行第8列,即可求出a100
解法二:直接把設(shè)a100=2s+2t,再利用條件確定對應(yīng)的正整數(shù)s,t即可.
(2)利用上面的結(jié)論可以快速找到{bn}的規(guī)律,再結(jié)合組合數(shù)對其求解即可.
解答:(1)解:用(t,s)表示2t+2s,下表的規(guī)律為
3(0,1)
5(0,2) 6(1,2)
9(0,3) 10(1,3) 12(2,3)
①第四行17(0,4) 18(1,4) 20(2,4) 24(3,4)
第五行33(0,5) 34(1,5) 36(2,5) 40(3,5) 48(4,5)
②解法一:因為100=(1+2+3+4+…+13)+9,所以a100=(8,14)=28+214=16640
解法二:設(shè)a100=2s+2t,只須確定正整數(shù)s,t
數(shù)列{an}中小于2t的項構(gòu)成的子集為{2t+2s|0≤s<t<t},
其元素個數(shù)為,依題意
滿足等式的最大整數(shù)t為14,所以取t=14.
因為100-C142=s+1,由此解得s=8,
∴a100=214+28=16640.
(2)解:bk=1160=210+27+23,
令M={c∈B|C<1160}(其中,B={2r+2s+2t|0≤r<s<t})
因M={c∈B|c<210}∪{c∈B|210<c<210+27}∪{c∈B|210+27<c<210+27+23}.
現(xiàn)在求M的元素個數(shù):{c∈B|c<210}={2r&+2s+2t|0≤r<s<t<10},
其元素個數(shù)為C103:{c∈B|210<c<210+27}={210&+2s+2r|0≤r<s<7}.
某元素個數(shù)為C72:{c∈B|210+27<c<210+27+23}={210+27+2r|0≤r<3}
某元素個數(shù)為C107:k=C103+C72+C32+1=145.
另法:規(guī)定2r+2t+2s=(r,t,s),bk=1160=210+27+23=(3,7,10)
則b1=2+21+22=(0,1,2)C22
依次為(0,1,3) (0,2,3) (1,2,3) C32
(0,1,4) (0,2,4) (1,2,4) (0,3,4) (1,3,4) (2,3,4) C42
(0,1,9) (0,2,9)(6,8,9) (7,8,9)C92
(0,1,10) (0,2,10)(0,7,10) (1,7,10) (2,7,10) (3,7,10) C72+4
k=(C22+C32++C92)+C72+4=145.
點評:本題考查數(shù)列的應(yīng)用是數(shù)列這一塊的難題,適合做壓軸題.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

有以下四個命題:
①對于任意實數(shù)a、b、c,若a>b,c≠0,則ac>bc;
②設(shè)Sn 是等差數(shù)列{an}的前n項和,若a2+a6+a10為一個確定的常數(shù),則S11也是一個確定的常數(shù);
③關(guān)于x的不等式ax+b>0的解集為(-∞,1),則關(guān)于x的不等式
bx-ax+2
>0的解集為(-2,-1);
④對于任意實數(shù)a、b、c、d,若a>b>0,c>d則ac>bd.
其中正確命題的是
 
(把正確的答案題號填在橫線上)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)對任意的實數(shù)x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且當x>0時,f(x)>1.
(1)求證:函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù);
(2)若關(guān)于x的不等式f(x2-ax+5a)<2的解集為{x|-3<x<2},求f(2009)的值;
(3)在(2)的條件下,設(shè)an=|f(n)-14|(n∈N*),若數(shù)列{an}從第k項開始的連續(xù)20項之和等于102,求k的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設(shè)A={a1 , a2 , … , an}⊆M(n∈N* , n≥2),若a1+a2+…+an=a1a2…an,則稱集合A是集合M的n元“好集”.
(1)寫出實數(shù)集R上的一個二元“好集”;
(2)是否存在正整數(shù)集合N*上的二元“好集”?說明理由;
(3)求出正整數(shù)集合N*的所有三元“好集”.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知點集L={(x,y)|y=
m
n
}
,其中
m
=(2x-b,1),
n
=(1,1+b)
,又知點列Pn(an,bn)∈L,P1為L與y軸的交點.等差數(shù)列{an}的公差為1,n∈N*
(Ⅰ)求Pn(an,bn);
(Ⅱ)若f(n)=
an,n=2k-1
bn,n=2k
k∈N*,f(k+11)=2f(k)
,求出k的值;
(Ⅲ)對于數(shù)列{bn},設(shè)Sn是其前n項和,是否存在一個與n無關(guān)的常數(shù)M,使
Sn
S2n
=M
,若存在,求出此常數(shù)M,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

對于項數(shù)為m的有窮數(shù)列數(shù)集{an},記bk=max{a1,a2,…,ak}(k=1,2,…,m),即bk為a1,a2,…,ak中的最大值,并稱數(shù)列{bn}是{an}的控制數(shù)列.如1,3,2,5,5的控制數(shù)列是1,3,3,5,5.
(1)若各項均為正整數(shù)的數(shù)列{an}的控制數(shù)列為2,3,4,5,5,寫出所有的{an};
(2)設(shè){bn}是{an}的控制數(shù)列,滿足ak+bm-k+1=C(C為常數(shù),k=1,2,…,m).求證:bk=ak(k=1,2,…,m).

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同步練習冊答案