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12.在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P,則使點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都不小于1的概率是1-\frac{{\sqrt{3}π}}{6}

分析 先求出滿足條件的正三角形ABC的面積,再求出滿足條件正三角形ABC內(nèi)的點(diǎn)到三角形的頂點(diǎn)A、B、C的距離均不小于1的圖形的面積,然后代入幾何概型公式即可得到答案.

解答 解:滿足條件的正三角形ABC如下圖所示:
其中正三角形ABC的面積S三角形=\frac{\sqrt{3}}{4}×4=\sqrt{3}
滿足到正三角形ABC的頂點(diǎn)A、B、C的距離至少有一個(gè)小于1的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,其加起來是一個(gè)半徑為1的半圓,
則S陰影=\frac{1}{2}π,
則使取到的點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離都大于1的概率是:
P=1-\frac{{\sqrt{3}π}}{6}
故答案為:1-\frac{{\sqrt{3}π}}{6}

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何概型概率公式、三角形的面積公式、扇形的面積公式.幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”,可以為線段長(zhǎng)度、面積、體積等,而且這個(gè)“幾何度量”只與“大小”有關(guān),而與形狀和位置無關(guān).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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