在金融危機(jī)中,某鋼材公司積壓了部分圓鋼,經(jīng)清理知共有2 009根.現(xiàn)將它們堆放在一起,
(Ⅰ)若堆放成縱斷面為正三角形(每一層的根數(shù)比上一層根數(shù)多1根),并使剩余的圓鋼盡可能地少,則剩余了多少根圓鋼?
(Ⅱ)若堆成縱斷面為等腰梯形(每一層的根數(shù)比上一層根數(shù)多1根),且不少于7層,圓鋼沒有剩余.
(1)共有幾種不同的方案?
(2)已知每根圓鋼的直徑為10cm,為考慮安全隱患,堆放高度不得高于4m,則選擇哪個(gè)方案,最能節(jié)省堆放場地(即最下層占用面積最少)?
解:(Ⅰ)當(dāng)縱斷面為正三角形時(shí),設(shè)共堆放n層,
則從上到下每層圓鋼根數(shù)是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,且剩余的圓鋼一定小于n根,
從而由且n∈N*得,
當(dāng)n=62 時(shí),使剩余的圓鋼盡可能地少,此時(shí)剩余了56根圓鋼。
(Ⅱ)(1)當(dāng)縱斷面為等腰梯形時(shí),設(shè)共堆放n層,
則從上到下每層圓鋼根數(shù)是以x為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,
從而nx+n(n-1)=2009,
即n(2x+n-1)=2×2009=2×7×7×41,
因n-1與n的奇偶性不同,
所以2x+n-1與n的奇偶性也不同,且n<2x+n-1,
從而由上述等式得:

所以共有4種方案可供選擇. 
(2)因?qū)訑?shù)越多,最下層堆放得越少,占用面積也越少,
所以由(1)可知:
若n= 49,則x=17,說明最七層有17根圓鋼,最下層有65根圓鋼,此時(shí)如圖所示,兩腰之長為480cm,上下底之長為160cm和640cm,從而梯形之高為240cm,顯然大于4m,不合條件,舍去;

 若n=41,則x=29,說明最上層有29根圓鋼,最下層有69根圓鋼,此時(shí)如圖所示,兩腰之長為400cm,上下底之長分別為280cm,680cm,從而梯形之高為200cm,而200+10<400,所以符合條件;
綜上所述,選擇堆放41層這個(gè)方案,最能節(jié)省堆放場地。
練習(xí)冊系列答案
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(1)若堆放成縱斷面為正三角形(每一層的根數(shù)比上一層根數(shù)多1根),并使剩余的圓鋼盡可能地少,則剩余了多少根圓鋼?
(2)若堆成縱斷面為等腰梯形(每一層的根數(shù)比上一層根數(shù)多1根),且不少于七層,
(Ⅰ)共有幾種不同的方案?
(Ⅱ)已知每根圓鋼的直徑為10cm,為考慮安全隱患,堆放高度不得高于4m,則選擇哪個(gè)方案,最能節(jié)省堆放場地?

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(2)若堆成縱斷面為等腰梯形(每一層的根數(shù)比上一層根數(shù)多1根),且不少于七層,
(Ⅰ)共有幾種不同的方案?
(Ⅱ)已知每根圓鋼的直徑為10cm,為考慮安全隱患,堆放高度不得高于4m,則選擇哪個(gè)方案,最能節(jié)省堆放場地?

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