Question

已知映射f：A→B，A=R⁺，B=R，f：x→y=lnx+

1

x

，若k∈B，且k在A中沒有原象，則k的取值范圍是

（-∞，1]

．

Answer 1

分析：由題意可得，k在函數(shù)y=lnx+

1

x

的值域的補(bǔ)集中，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的值域，則值域的補(bǔ)集即為所求．

解答：解：∵f：A→B，A=R⁺，B=R，f：x→y=lnx+

1

x

，若k∈B，且k在A中沒有原象，
k在函數(shù)y=lnx+

1

x

的值域的補(bǔ)集中，下面求函數(shù)y=lnx+

1

x

的值域．
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y′=

1

x

-

1

x2

，令y′=0，x=1．
在（0，1）上，y′＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，在（1，+∞）上，y′＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，故x=1時(shí)，函數(shù)有最小值為1，
∴函數(shù)的值域?yàn)閇1，+∞）．
∴值域的補(bǔ)集為 （-∞，1]，故k的取值范圍是（-∞，1]．
故答案為（-∞，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查映射的定義，求出函數(shù)y=lnx+

1

x

的值域，是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．