Question

設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）滿足以下兩個(gè)條件：（1）對(duì)?x∈R，都有f（x）+f（-x）=0成立；（2）當(dāng)x＜0時(shí)，（x²+2x）f'（x）≥0
則下列不等關(guān)系中正確的是（ ）
A．f（-1）≤f（0）
B．f（-2）≤f（-3）
C．f（2）≥f（0）
D．f（1）≥f（2）

Answer 1

【答案】分析：利用奇函數(shù)的定義判斷出f（x）是奇函數(shù)，通過(guò)解二次不等式判斷出x²+2x的符號(hào)，從而得到導(dǎo)函數(shù)f′（x）的符號(hào)，判斷出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，利用f（x）的單調(diào)性判斷出A，B錯(cuò)；利用f（x）的單調(diào)性與奇函數(shù)判斷出C錯(cuò)D對(duì)．
解答：解：∵對(duì)?x∈R，都有f（x）+f（-x）=0成立
∴f（x）為奇函數(shù)
∵當(dāng)x＜-2時(shí)，x²+2x＞0；當(dāng)-2＜x＜0時(shí)，x²+2x＞0
又∵當(dāng)x＜0時(shí)，（x²+2x）f'（x）≥0
∴當(dāng)x＜-2時(shí)，f'（x）≥0，函數(shù)f（x）遞增或?yàn)槌：瘮?shù)；當(dāng)-2＜x＜0時(shí)，f'（x）≤0，函數(shù)f（x）遞減或?yàn)槌：瘮?shù)
∴f（-1）≥f（0），故A錯(cuò)
f（-2）≥f（-3），故B錯(cuò)
f（-2）≥f（0）即-f（2）≥f（0）即f（2）≤f（0），故C錯(cuò)
f（-1）≤f（-2）即-f（1）≤-f（2）即f（1）≥f（2）故D對(duì)
故選D．
點(diǎn)評(píng)：判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)該利用奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義；利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性：當(dāng)導(dǎo)函數(shù)為正，函數(shù)遞增；當(dāng)導(dǎo)函數(shù)為負(fù)，函數(shù)遞減．