Question

當0＜x＜

π

2

時，求證：x-sinx＜

1

6

x³．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：證明題,導數(shù)的綜合應用

分析：令f（x）=x-

1

6

x³-sin x，求導數(shù)，確定函數(shù)的單調性，即可證明結論．

解答： 證明：令f（x）=x-

1

6

x³-sin x，則 f′（x）=1-

1

2

x2-cos x，
f″（x）=-x+sin x，f″′（x）=-1+cos x．
當0＜x＜

π

2

時，0＜cos x＜1，即 f″′（x）＜0．
所以f″（x）在（0，

π

2

）上單調遞減．
所以f″（x）＜f″（0）=0，x屬∈（0，

π

2

）．
所以f′（x）在（0，

π

2

）上單調遞減．
所以f（x）＜f（0）=0，x∈（0，

π

2

）．
即x-sinx＜

1

6

x³，x∈（0，

π

2

）．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性，正確求導數(shù)是關鍵．