Question

（本小題滿分13分）已知圓C的圓心在直線y=x+1上，且過點(diǎn)（1，3），與直線x+2y-7=0相切.
（1）求圓C的方程；
（2）設(shè)直線：與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）在（Ⅱ）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)，使得弦的垂直平分線過點(diǎn)，                     若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）為。(2) 的取值范圍是（）；
（3）不存在實(shí)數(shù)，使得過點(diǎn)的直線垂直平分弦.

本試題主要是考查了線與圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。
（1）因?yàn)閳AC的圓心在直線y=x+1上，且過點(diǎn)（1，3），與直線x+2y-7=0相切. 利用圓心到直線的距離等于圓的半徑得到結(jié)論。
（2）因?yàn)橹本�與圓相交，則圓心到直線的距離小于圓的半徑得到參數(shù)a的范圍。
（3）設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)存在，由于，則直線的斜率為，的方程為，即，由于垂直平分弦，故圓心上，從而得到。
解：（1）因?yàn)閳AC的圓心在直線y=x+1上，可設(shè)圓心坐標(biāo)為，由題意可列方
程，解得，所以圓心坐標(biāo)為（），半徑
為，所以圓的方程為。-----------------5分
(2)聯(lián)立方程，消得，由于直線與圓交于兩點(diǎn)，所以，解得，所以的取值范圍是（）------8分（3）設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)存在，由于，則直線的斜率為，的方程為，即，由于垂直平分弦，故圓心上，
所以，解得，由于，故不存在實(shí)數(shù)，使得過點(diǎn)的直線垂直平分弦.--------------13分