Question

(1)如下圖所示，設(shè)AB、CD是夾在兩個平行平面α、β之間的異面直線段，M、N分別為AB、CD的中點，求證：MN∥α．

(2)在本例中，若AB、AE是夾在兩個平行平面α、β之間的兩條相交線段，且M、N分別為AB、AE的中點，如何證明MN∥α？

Answer 1

答案：
解析：

(1)證法一：過點A作AE∥CD，交α于點E，∵α∥β，則AECD，即AEDC為平行四邊形． 　　設(shè)P為AE的中點，連結(jié)PN、PM、BE，則PN∥ED，MP∥BE． 　　又∵PNα，EDα，∴PN∥α． 　　同理，可得PM∥α． 　　又∵PM∩PN＝P，∴平面PMN∥平面α． 　　又MN平面PMN，∴MN∥α． 　　證法二：如下圖所示，連結(jié)AD，取AD的中點Q，連結(jié)QM、QN， 　　∵Q、N分別為AD、CD的中點，∴QN∥AC． 　　∵QNβ，ACβ， 　　∴QN∥β．∵α∥β，QN∥β，QNα， 　　∴QN∥α．同理可證QM∥α． 　　∵QM∩QN＝Q，∴平面QMN∥α． 　　∵M(jìn)N平面MNQ， 　　∴MN∥α． 　　(2)證明：連結(jié)BE，∵M(jìn)、N分別是AB、AE的中點， 　　∴MN∥BE． 　　又∵M(jìn)N平面α，BE平面α，∴MN∥平面α． 　　思路分析：(1)本題考查兩個平面平行的判定方法．要證明MN∥α，由于AB、CD為異面直線，所以要在α內(nèi)找一條直線，證明它與MN平行較為困難．因此可轉(zhuǎn)化為證明過MN的一個平面與平面α平行．

提示：

本題的證法較多，解題關(guān)鍵是如何處理好條件：AB、CD是兩條異面線段．證法一實質(zhì)上是把CD在兩平行平面間沿著同一方向移到AE位置，AB和AE可確定一平面，借助于平面幾何來處理問題；證法二是借助于空間四邊形的對角線AD，把AB和CD分別放在兩相交平面內(nèi)來研究．本題還可以連結(jié)CM延長交α于點R，證明MN∥RD即可．