Question

如圖，正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面邊長(zhǎng)為a，點(diǎn)M在邊 BC上，△AMC₁是以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形。
（Ⅰ）求證點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)；
（Ⅱ）求點(diǎn)C到平面AMC₁的距離；
（Ⅲ）求二面角M—AC₁—C的大小。

Answer 1

（Ⅰ）點(diǎn)M為BC邊的中點(diǎn)  
（Ⅱ）∴點(diǎn)C到平面AMC₁的距離為底面邊長(zhǎng)為
（Ⅲ）二面角M—AC₁—C的大小為45°

本試題主要考查了立體幾何中，空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系的運(yùn)用。第一問中，利用△AMC₁為以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∴AM⊥C₁M且AM=C₁M
又因?yàn)镃C₁⊥底面ABC∴C₁M在底面內(nèi)射影為CM，AM⊥CM。所以點(diǎn)M為BC邊的中點(diǎn)
二問中，利用作輔助線，表示，即為所求
三問中，過點(diǎn)C作CI⊥AC₁于I，連HI，∵CH⊥平面C₁AM，作出二面角的大小，然后借助于定義法得到結(jié)論。
（Ⅰ）∵△AMC₁為以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∴AM⊥C₁M且AM=C₁M
∵三棱柱ABC—A₁B₁C₁，∴CC₁⊥底面ABC∴C₁M在底面內(nèi)射影為CM，AM⊥CM。
∵底面ABC為邊長(zhǎng)為a的正三角形，∴點(diǎn)M為BC邊的中點(diǎn)         --------------------4分
（Ⅱ）過點(diǎn)C作CH⊥MC₁，由（Ⅰ）知AM⊥C₁M且AM⊥CM，
∴AM⊥平面C₁CM        ∵CH在平面C₁CM內(nèi)，∴CH⊥AM，
∴CH⊥平面C₁AM
由（Ⅰ）知，AM=CM=,CM=
∴∴
∴點(diǎn)C到平面AMC₁的距離為底面邊長(zhǎng)為-------------------8分
（Ⅲ）過點(diǎn)C作CI⊥AC₁于I，連HI，∵CH⊥平面C₁AM，
HI⊥AC₁，∠CIH是二面角M—AC₁—C的平面角
∴HI為CI在平面C₁AM內(nèi)的射影，
∴HI⊥AC₁，∠CIH是二面角M—AC₁—C的平面角，在直角三角形ACC₁中     ，
∴∠CIH=45°，        ∴二面角M—AC₁—C的大小為45°