14．△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若$a=2，c=\sqrt{19}$，$tanA+tanB=\sqrt{3}-\sqrt{3}tanAtanB$，則△ABC的面積S△ABC=（　　）
A．$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$B．$\frac{3}{2}$C．$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$D．$\frac{1}{2}$

分析 由題意和正切函數(shù)變形和三角形的內角和可得C值，由余弦定理可得b值，代入三角形面積公式可得．

解答 解：△ABC中，∵$tanA+tanB=\sqrt{3}-\sqrt{3}tanAtanB$
∴$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}=\sqrt{3}=tan（A+B）$，∴$A+B=\frac{π}{3}$，
∴$C=\frac{2π}{3}$，又由余弦定理可得${c^2}={a^2}+{b^2}-2abcos\frac{2π}{3}$，
代入a=2，$c=\sqrt{19}$可得19=4+b2+2b，
整理可得b2+2b-15=0，解得b=3或b=-5（舍去），
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，
故選：A．

點評 本題考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面積公式和和差角的三角函數(shù)公式，屬中檔題．

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5．已知函數(shù)y=f（x）存在反函數(shù)y=f-1（x），若函數(shù)$y=f（x）-\frac{1}{x}$的圖象經(jīng)過點（1，2），則函數(shù)$y=\frac{1}{x}+{f^{-1}}（x）$的圖象必過點$（3，\frac{4}{3}）$．

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2．（x2-$\frac{1}{2x}$）6的展開式中，常數(shù)項是（　�。�
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9．已知f（x）是定義在[a，b]上的函數(shù)，如果存在常數(shù)M＞0，對區(qū)間[a，b]的任意劃分：a=x0＜x1＜…＜xn-1＜xn=b，和式$\sum_{i=1}^{n}$|f（xi）-f（xi-1）|≤M恒成立，則稱f（x）為[a，b]上的“絕對差有界函數(shù)”，注：$\sum_{i=1}^{n}$ai=a1+a2+…+an．
（1）證明函數(shù)f（x）=sinx+cosx在[-$\frac{π}{2}$，0]上是“絕對差有界函數(shù)”；
（2）記集合A={f（x）|存在常數(shù)k＞0，對任意的x1，x2∈[a，b]，有|f（x1）-f（x2）|≤k|x1-x2|成立}，證明集合A中的任意函數(shù)f（x）為“絕對差有界函數(shù)”．當[a，b]=[1，2]時，判斷g（x）=$\sqrt{x}$是否在集合A中，如果在，請證明并求k的最小值；如果不在，請說明理由；
（3）證明函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{xcos\frac{π}{2x}，0＜x≤1}\\{0，x=0}\end{array}\right.$，不是[0，1]上的“絕對差有界函數(shù)”．

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19．若命題“?x∈R，2x2+m＞4x”是真命題，則m的值可以是．
A．$\frac{3}{2}$B．-1C．1D．$\frac{2}{3}$

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6．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知b=acosC+3bsin（B+C）．
（1）若$\frac{c}=\sqrt{3}$，求角A；
（2）在（1）的條件下，若△ABC的面積為$\sqrt{3}$，求a的值．

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4．在邊長為1的等邊△ABC中，E為AC上一點，且AC=4AE，P為BE上一點且滿足$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$（m＞0，n＞0）．則$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$取最小值時，|$\overrightarrow{AP}$|=$\frac{\sqrt{7}}{6}$．

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