Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中、為已知實(shí)常數(shù)，.

下列所有正確命題的序號(hào)是____________．　

①若，則對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立；

②若，則函數(shù)為奇函數(shù)；

③若，則函數(shù)為偶函數(shù)；

④當(dāng)時(shí)，若，則.

Answer 1

【答案】①②③④.

【解析】

對(duì)于①，由，證明函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)即可得出；

對(duì)于②，根據(jù)奇函數(shù)的定義可得出結(jié)論；

對(duì)于③，根據(jù)偶函數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可得出結(jié)論；

對(duì)于④，根據(jù)得

，于此得出結(jié)論.

對(duì)于命題①，若，則，

則

，

函數(shù)為奇函數(shù)，

若，則

，

，

函數(shù)為偶函數(shù)，

若，則函數(shù)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，即，命題①正確；

對(duì)于命題②，由①的證明過程可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)，命題①正確；

對(duì)于命題③，由①的證明過程可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)，命題②正確；

對(duì)于命題④，當(dāng)時(shí)，

，

令，

，則，

由輔助角公式得，

其中，，

，則、是函數(shù)的兩個(gè)對(duì)稱中心點(diǎn)，

函數(shù)的最小正周期為，該函數(shù)的兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心之間的距離為周期的一半，

因此，，命題④正確.

故答案為：①②③④.