如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直．點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM＝BN＝α(0＜α＜)．

(1)求MN的長．

(2)當(dāng)α為何值時(shí)，MN的長最��？

(3)當(dāng)MN長最小時(shí)，求面MNA與面MNB所成的二面角α的大�。�

答案：
解析：

　　(1)作MP∥AB交BC于點(diǎn)P，NQ∥AB交BE于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ，依題意可得MP∥NQ，且MP＝NQ，即MNQP是平行四邊形．∴MN＝PQ

　　由已知CM＝BN＝a，CB＝AB＝BE＝1

　　∴AC＝BF＝，CP＝BQ＝a

　　MN＝PQ＝＝＝(0＜a＜2＝

　　(2)由(1)MN＝所以，當(dāng)a＝時(shí)，MN＝

　　即當(dāng)M、N分別為AC、BF的中點(diǎn)時(shí)，MN的長最小，最小值為．

　　(3)取MN的中點(diǎn)G，連結(jié)AG、BG．

　　∵AM＝AN，BM＝BN，G為MN的中點(diǎn)．

　　∴AG⊥MN，BG⊥MN，即∠AGB即為二面角的平面角α．

　　又AG＝BG＝，所以，由余弦定理有：

cosα＝＝－

　　故所求二面角為α＝π－arccos．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB=
2
，CE=EF=1．
（Ⅰ）求證：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求證：CF⊥平面BDE；
（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

8、如圖把正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角，對(duì)于下面結(jié)論：
①AC⊥BD；
②CD⊥平面ABC；
③AB與BC成60°角；
④AB與平面BCD成45°角．
則其中正確的結(jié)論的序號(hào)為
①③④
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直，點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM=BN=a（0＜a＜
2
），則MN的長的最小值為 （　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，正方形ABCD所在平面與等腰三角形EAD所在平面相交于AD，AE⊥平面CDE．
（I）求證：AB⊥平面ADE；
（II）（理）在線段BE上存在點(diǎn)M，使得直線AM與平面EAD所成角的正弦值為
6
3
，試確定點(diǎn)M的位置．
（文）若AD=2，求四棱錐E-ABCD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•溫州二模）如圖，正方形ABCD與正方形CDEF所成的二面角為60°，則直線EC與直線AD所成的角的余弦值為
2
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2
4
．

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