Question

已知矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB、PC的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求證：EF⊥CD；
（3）若PA=AD，求一面直線EF與BC所成的夾角．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的性質(zhì)

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）取PD中點(diǎn)Q，連AQ、QF，則AE∥QF，四邊形AEFQ為平行四邊形，由此能證明EF∥面PAD．
（2）由CD⊥AD，CD⊥PA，得CD⊥面PAD，由EF∥AQ，得EF⊥CD．
（3）由已知得△PAD為等腰直角三角形AQ⊥PD，∠QAD=45°，由此能求出EF與BC所成角為45°．

解答： （1）證明：取PD中點(diǎn)Q，連AQ、QF，則AE∥QF，
∴四邊形AEFQ為平行四邊形，∴EF∥AQ，
又∵AQ?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥面PAD．
（2）證明：∵CD⊥AD，CD⊥PA，PA∩AD=A，
PA?平面PAD，AD?平面PAD，
∴CD⊥面PAD，又∵AQ?平面PAD，∴CD⊥AQ
∵EF∥AQ，∴EF⊥CD．
（3）解：∵PA=AD，PA⊥平面ABCD，∠PDA=45°
∴△PAD為等腰直角三角形
∴AQ⊥PD，
∴∠QAD=45°
又∵AQ∥EF，AD∥BC，
∴EF與BC所成角為45°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，線面垂直的證明，考查直線與平面所成角的求法，解題時(shí)要注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系及性質(zhì)的合理運(yùn)用，是中檔題．