Question

9．把二項(xiàng)式（$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{\root{3}{x}}$）⁸的展開式的各項(xiàng)重新排列，則第一項(xiàng)為有理數(shù)，且有理項(xiàng)互不相鄰的概率為（　　）

• A． $\frac{4}{27}$
• B． $\frac{3}{25}$
• C． $\frac{5}{28}$
• D． $\frac{2}{15}$

Answer 1

分析 寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，求出所含的有理項(xiàng)，然后利用古典概型概率計算公式求得答案．

解答 解：${T}_{r+1}={C}_{8}^{r}（\frac{x}{2}）^{8-r}（-\frac{1}{\root{3}{x}}）^{r}$=$（-1）^{r}（\frac{1}{2}）^{8-r}{C}_{8}^{r}{x}^{8-\frac{4}{3}r}$．
∴當(dāng)r=0，3，6時為有理項(xiàng)，
故展開式中有三項(xiàng)為有理項(xiàng)．
各項(xiàng)重新排列共有${A}_{9}^{9}$種不同的排列方法，
滿足第一項(xiàng)為有理數(shù)，且有理項(xiàng)互不相鄰的排法種數(shù)為${C}_{3}^{1}{A}_{6}^{6}{A}_{6}^{2}$種，
∴第一項(xiàng)為有理數(shù)，且有理項(xiàng)互不相鄰的概率為P=$\frac{{C}_{3}^{1}{A}_{6}^{6}{A}_{6}^{2}}{{A}_{9}^{9}}=\frac{5}{28}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，考查了古典概型概率計算公式的應(yīng)用，是中檔題．