Question

設關于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0．
（1）若a，b是從區(qū)間[0，3]任取的兩個整數(shù)，求上述方程有實根的概率；
（2）若a，b是從區(qū)間[0，3]上任取的兩個實數(shù)，求上述方程有實根的概率．

Answer 1

考點：幾何概型,二次函數(shù)的性質

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）由一元二次方程的判別式大于等于0得到方程x²+2ax+b²=0有實數(shù)根的充要條件為a≥b，用列舉法求出a，b是從[0，3]任取的兩個整數(shù)即從0，1，2，3四個數(shù)中任取的兩個數(shù)，查出滿足a≥b的事件數(shù)，然后直接利用古典概型概率計算公式求解；
（2）由題意求出點（a，b）所構成的正方形的面積，再由線性規(guī)劃知識求出滿足a≥b的區(qū)域面積，由測度比是面積比求概率．

解答： 解：設事件A為“方程x²+2ax+b²=0有實數(shù)根”．
當a≥0，b≥0時，方程x²+2ax+b²=0有實數(shù)根的充要條件為a≥b
（1）基本事件共16個：（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），
（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）．其中第一個數(shù)表示a的取值，第二個數(shù)表示b的取值．
事件A中包含10個基本事件．
事件A發(fā)生的概率為P（A）=

9

16

；
（2）試驗的全部結果所構成的區(qū)域為{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤3}．
構成事件A的區(qū)域為{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤3，a≥b}．
如圖，

∴所求的概率P（A）=

1 2 ×3×3

3×3

=

1

2

．

點評：本題考查了古典概型及其概率計算公式，考查了幾何概型的概率，關鍵是理解（2）的測度比，是基礎題．