Question

7．已知圓A：（x+1）²+y²=8，動圓M經過點B（1，0），且與圓A相切，O為坐標原點．
（Ⅰ）求動圓圓心M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）直線l與曲線C相切于點M，且l與x軸、y軸分別交于P、Q兩點，若$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{MQ}$，且λ∈[$\frac{1}{2}$，2]，求△OPQ面積S的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：|MA|=2$\sqrt{2}$-r，|MB|=r，則|MA|+|MB|=2$\sqrt{2}$＞|AB|=2，M點軌跡是以A、B為焦點的橢圓，即2a=2$\sqrt{2}$，a=$\sqrt{2}$，2c=2，c=1，b²=a²-c²=1，即可求得橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設l：y=kx+b，代入橢圓方程，由△=0，求得b²=1+2k²，利用韋達定理求得切點坐標，△OPQ的面積S=$\frac{1}{2}$•|OP|•|OQ|=$\frac{^{2}}{2丨k丨}$=|k|+$\frac{1}{2丨k丨}$，由λ的取值范圍求得k的取值范圍，利用函數的單調性即可求得△OPQ面積S的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）設動圓M的半徑為r，依題意，|MA|=2$\sqrt{2}$-r，|MB|=r，
∴|MA|+|MB|=2$\sqrt{2}$＞|AB|=2，
∴M點軌跡是以A、B為焦點的橢圓，即2a=2$\sqrt{2}$，a=$\sqrt{2}$，2c=2，c=1，
則b²=a²-c²=1，
∴橢圓C的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．…（4分）
（Ⅱ）由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，設l：y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化簡得：（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0，
∵l與橢圓C相切于點M，設M（x₀，y₀），
∴△=8（1+2k²-b²）=0，即b²=1+2k²，…（6分）
且2x₀=-$\frac{4kb}{1+2{k}^{2}}$=-$\frac{4kb}{^{2}}$，解得：x₀=-$\frac{2k}$，y₀=-$\frac{2{k}^{2}}$+b=$\frac{1}$，
∴點M的坐標為（-$\frac{2k}$，$\frac{1}$），
又l與x軸、y軸分別交于P、Q兩點，
∴點P的坐標為（-$\frac{k}$，0），點Q的坐標為（0，b），
∴△OPQ的面積S=$\frac{1}{2}$•|OP|•|OQ|=$\frac{^{2}}{2丨k丨}$，又b²=1+2k²，
∴S=$\frac{1+2{k}^{2}}{2丨k丨}$=|k|+$\frac{1}{2丨k丨}$，…（9分）
∴$\overrightarrow{PM}$=（$\frac{k}$-$\frac{2k}$，$\frac{1}$），$\overrightarrow{MQ}$=（$\frac{2k}$，b-$\frac{1}$），
由$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{MQ}$得，$\frac{1}$=λ（b-$\frac{1}$），化簡得λ=$\frac{1}{^{2}-1}$=$\frac{1}{2{k}^{2}}$，
由λ∈[$\frac{1}{2}$，2]，得k²∈[$\frac{1}{4}$，1]，|k|∈[$\frac{1}{2}$，1]，
又S=|k|+$\frac{1}{2丨k丨}$，且函數y=x+$\frac{1}{2x}$在[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]上單調遞減，在[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]上單調遞增，
∴當|k|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，S取得最小值$\sqrt{2}$，當|k|=$\frac{1}{2}$或1時，S取得最大值$\frac{3}{2}$，
∴△OPQ面積S的取值范圍是[$\sqrt{2}$，$\frac{3}{2}$]．…（12分）

點評 本題考查橢圓的定義，橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查向量的坐標運算，函數單調性與橢圓的綜合應用，考查計算能力，屬于中檔題．