Question

14．已知函數(shù)f（x）=lg（2+x）-lg（2-x）．
（1）判定函數(shù)f（x）的奇偶性，并加以證明；
（2）判定f（x）的單調(diào)性（不用證明），并求不等式f（1-x）+f（3-2x）＜0的解集．

Answer 1

分析 （1）先求出f（x）的定義域判斷是否對(duì)稱，再判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系，得出結(jié)論；
（2）利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷，根據(jù)奇偶性得出f（1-x）＜-f（3-2x）=f（2x-3），再利用單調(diào)性列出不等式組求出x的范圍．

解答 解：（1）由函數(shù)有意義得：$\left\{\begin{array}{l}2+x＞0\\ 2-x＞0\end{array}\right.$，解得-2＜x＜2，
所以函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?2，2）．
任取x∈（-2，2），則f（-x）=lg（2-x）-lg（2+x）=-f（x），
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)
（2）f（x）=lg$\frac{2+x}{2-x}$，
令u（x）=$\frac{2+x}{2-x}$=$\frac{4}{2-x}-1$，則u（x）在（-2，2）上單調(diào)遞增，
∴f（x）=lg$\frac{2+x}{2-x}$在（-2，2）上單調(diào)遞增．
∵f（1-x）+f（3-2x）＜0，
∴f（1-x）＜-f（3-2x）=f（2x-3），
∵f（x）在（-2，2）單調(diào)遞增，
∴$\left\{\begin{array}{l}1-x＜2x-3\\ 1-x＞-2\\ 2x-3＜2\end{array}\right.$，解得$\frac{4}{3}＜x＜\frac{5}{2}$．
∴不等式的解集為（$\frac{4}{3}，\frac{5}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．