(07年湖北卷理)(14分)
已知為正整數(shù),
(I)用數(shù)學歸納法證明:當時,;
(II)對于,已知,求證:,;
(III)求出滿足等式的所有正整數(shù).
本小題主要考查數(shù)學歸納法、數(shù)列求和、不等式等基礎知識和基本的運算技能,考查分析問題能力和推理能力.
解析:解法1:(Ⅰ)證:用數(shù)學歸納法證明:
()當時,原不等式成立;當時,左邊,右邊,
因為,所以左邊右邊,原不等式成立;
()假設當時,不等式成立,即,則當時,
,,于是在不等式兩邊同乘以得
,
所以.即當時,不等式也成立.
綜合()()知,對一切正整數(shù),不等式都成立.
(Ⅱ)證:當時,由(Ⅰ)得,
于是,.
(Ⅲ)解:由(Ⅱ)知,當時,
,
.
即.即當時,不存在滿足該等式的正整數(shù).
故只需要討論的情形:
當時,,等式不成立;
當時,,等式成立;
當時,,等式成立;
當時,為偶數(shù),而為奇數(shù),故,等式不成立;
當時,同的情形可分析出,等式不成立.
綜上,所求的只有.
解法2:(Ⅰ)證:當或時,原不等式中等號顯然成立,下用數(shù)學歸納法證明:
當,且時,,. 、
()當時,左邊,右邊,因為,所以,即左邊右邊,不等式①成立;
()假設當時,不等式①成立,即,則當時,
因為,所以.又因為,所以.
于是在不等式兩邊同乘以得
,
所以.即當時,不等式①也成立.
綜上所述,所證不等式成立.
(Ⅱ)證:當,時,,,
而由(Ⅰ),,
.
(Ⅲ)解:假設存在正整數(shù)使等式成立,
即有. 、
又由(Ⅱ)可得
,與②式矛盾.
故當時,不存在滿足該等式的正整數(shù).
下同解法1.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
(07年湖北卷理)已知兩個等差數(shù)列和的前項和分別為A和,
且,則使得 為整數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
(07年湖北卷理)已知直線(是非零常數(shù))與圓有公共點,且公共點的橫坐標和縱坐標均為整數(shù),那么這樣的直線共有( )
A.60條 B.66條 C.72條 D.78條
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A.60條 B.66條 C.72條 D.78條
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