Question

（2013•肇慶二模）設(shè)橢圓

x2

b2

+

y2

a2

=1 (a＞0，b＞0)的離心率為

1

2

，其左焦點與拋物線C：x=-

1

4

y2的焦點相同．
（Ⅰ）求此橢圓的方程；
（Ⅱ）若過此橢圓的右焦點F的直線l與曲線C只有一個交點P，則
（1）求直線l的方程；
（2）橢圓上是否存在點M（x，y），使得S△MPF=

1

2

，若存在，請說明一共有幾個點；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）由拋物線的標準方程即可得到焦點坐標，即得到橢圓的左焦點，再利用離心率即可得出b，進而求出a及橢圓標準方程；
（II）（1）過此橢圓的右焦點F的直線l與曲線C只有一個交點P分與對稱軸平行（或重合）與相切兩種情況考慮即可得出；
（2）由（1）可求出點P的坐標是（0，0）或（-1，2）或（-1，-2）．分次三種情況討論：求出|PF|，再求出點M到直線l的距離即可．

解答：解：（Ⅰ）拋物線C的焦點為E（-1，0），它是橢圓的左焦點．離心率為

1

b

=

1

2

，
∴b=2．
由b²-a²=1²求得a=

3

．
因此，所求橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1（*）
（Ⅱ）（1）橢圓的右焦點為F（1，0），過點F與y軸平行的直線顯然與曲線C沒有交點．設(shè)直線l的斜率為k，
①若k=0，則直線y=0過點F（1，0）且與曲線C只有一個交點（0，0），此時直線l的方程為y=0；
②若k≠0，因直線l過點F（1，0），故可設(shè)其方程為y=k（x-1），將其代入y²=-4x消去y，得k²x²-2（k²-2）x+k²=0．
因為直線l與曲線C只有一個交點P，所以判別式4（k²-2）²-4k²•k²=0，于是k=±1，從而直線l的方程為y=x-1或y=-x+1．
因此，所求的直線l的方程為y=0或y=x-1或y=-x+1．
（2）由（1）可求出點P的坐標是（0，0）或（-1，2）或（-1，-2）．
①若點P的坐標是（0，0），則PF=1．
于是S△MPF=

1

2

=

1

2

×1×|y|，從而y=±1，代入（*）式聯(lián)立：

x2 4 + y2 3 =1 y=1

或

x2 4 + y2 3 =1 y=-1

，求得x=±

2 6

3

，
此時滿足條件的點M有4個：(

2 6

3

， 1)， (-

2 6

3

， 1)， (

2 6

3

， -1)， (-

2 6

3

， -1)．
②若點P的坐標是（-1，2），則PF=2

2

，點M到直線l：y=-x+1的距離是

|x+y-1|

2

，
于是有

1

2

=S△MPF=

1

2

×2

2

×

|x+y-1|

2

=|x+y-1|，從而x+y-1=±

1

2

，
與（*）式聯(lián)立：

x2 4 + y2 3 =1 x+y-1= 1 2

或

x2 4 + y2 3 =1 x+y-1=- 1 2

解之，可求出滿足條件的點M有4個：(

6+ 57

7

， 

9-2 57

14

)，(

6- 57

7

， 

9+2 57

14

)，(

11

7

，- 

15

14

)，(-1， 

3

2

)．
③若點P的坐標是（-1，-2），則PF=2

2

，
點M（x，y）到直線l：y=x-1的距離是

|x-y-1|

2

，
于是有

1

2

=S△MPF=

1

2

×2

2

×

|x-y-1|

2

=|x-y-1|，從而x-y-1=±

1

2

，
與（*）式聯(lián)立：

x2 4 + y2 3 =1 x-y-1= 1 2

或

x2 4 + y2 3 =1 x-y-1=- 1 2

，
解之，可求出滿足條件的點M有4個：(

6+ 57

7

， 

-9+2 57

14

)，(

6- 57

7

， 

-9-2 57

14

)，(

11

7

， 

15

14

)，(-1， -

3

2

)．
綜合①②③，以上12個點各不相同且均在該橢圓上，因此，滿足條件的點M共有12個．圖上橢圓上的12個點即為所求．

點評：本題綜合考查了橢圓、拋物線的標準方程及其性質(zhì)、直線與圓錐曲線相交相切問題及其三角形的面積，需要較強的推理能力和計算能力及數(shù)形結(jié)合的能力．