Question

已知向量

a

=(x1，y1)，

b

=(x2，y2)，

c

=(x3，y3)，定義運算“*”的意義為

a

*

b

=(x1y2，x2y1)．則下列命題：
①若

a

=(1，2)，

b

=(3，4)，則①

a

*

b

=(6，4)；②

a

*

b

=

b

*

a

；③(

a

*

b

)*

c

=

a

 *(

b

*

c

)；④(

a

+

b

)*

c

=(

a

*

c

)+(

b

*

c

)中，正確的是

④

．

Answer 1

分析：利用已知中新定義，檢驗各個選項中的等式是否成立，從而得出結論．

解答：解：利用已知中新定義，由向量

a

=(1，2)，

b

=(3，4)，可得

a

*

b

=(x1y2，x2y1)=（4，6），故①錯誤．
∵

a

*

b

=(x1y2，x2y1)，

b

*

a

=(x2y1，x1y2)，故②錯誤．
∵(

a

*

b

)*

c

=（x₁y₂，x₂y₁）*（x₃，y₃）=（x₁y₂y₃，x₂y₁x₃），

a

 *(

b

*

c

)=（x₁，y₁）*（x₂y₃，x₃y₂）=（x₁x₃y₂，y₁x₂y₃），故③錯誤．
∵(

a

+

b

)*

c

=（x₁+x₂，y₁+y₂）*（x₃，y₃）=（x₁ y₃+x₂ y₃ ，y₁x₃+y₂x₃），
而 (

a

*

c

)+(

b

*

c

)=（x₁y₃，x₃y₁）+（x₂y₃，x₃y₂）=（x₁ y₃+x₂ y₃ ，y₁x₃+y₂x₃ ），故④正確．
故答案為 ④

點評：本題主要考查兩個向量的數量積的運算，新定義運算“*”的意義，屬于中檔題．