Question

已知函數(shù)f(x)=x+

9

x-3

(x＞3)
（I）求函數(shù)f（x）的最小值；
（II）若不等式f(x)≥

t

t+1

+7恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將f（x）=x+

9

x-3

（x＞3）轉(zhuǎn)化為f（x）=x-3+

9

x-3

+3（x＞3），應(yīng)用基本不等式即可求得函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得f（x）_min=9，不等式f(x)≥

t

t+1

+7恒成立，轉(zhuǎn)化為9≥

t

t+1

+7恒成立，從而求得實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答：解：（I）∵x＞3，
∴x-3＞0．
∴f(x)=x+

9

x-3

=x-3+

9

x-3

+3≥2

(x-3)• 9 x-3

+3=9．…（3分）
當(dāng)且僅當(dāng)x-3=

9

x-3

即（x-3）²=9時(shí)上式取得等號(hào)，
又∵x＞3，
∴x=6，…（5分）
∴當(dāng)x=6時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是9．…（6分）
（II）由（I）知，當(dāng)x＞3時(shí)，f（x）的最小值是9，
要使不等式f(x)≥

t

t+1

+7恒成立，只需9≥

t

t+1

+7…（9分）
∴

t

t+1

-2≤0即

-t-2

t+1

≤0
解得t≤-2或t＞-1
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍是（-∞，-2]∪（-1，+∞）．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查基本不等式，關(guān)鍵在于將所給的條件轉(zhuǎn)化為能用基本不等式的式子，難點(diǎn)在于（Ⅱ）中不等式f(x)≥

t

t+1

+7恒成立，轉(zhuǎn)化為9≥

t

t+1

+7恒成立，屬于難題．