Question

已知橢圓左、右焦點分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），點A、B坐標為A（a，0），B（0，b），若△ABC面積為，∠BF₂A=120°．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若直線y=kx+2與橢圓交于不同的兩點M、N，且以MN為直徑的圓恰好過原點，求實數(shù)k的取值；
（3）動點P使得、、成公差小于零的等差數(shù)列，記θ為向量與的夾角，求θ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）在RT△BOF₂中，∠BF₂O=60°，計算得：，由，可計算得，從而可求橢圓標準方程．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+2．與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)判別式大于0求得k的范圍，設(shè)M，N兩點坐標分別為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．根據(jù)韋達定理求得x₁+x₂和x₁x₂，進而根據(jù)若以MN為直徑的圓恰好過原點，x₁•x₂+y₁•y₂=0，代入即可求得k，最后檢驗看是否符合題意．
（3）設(shè)P的坐標，由、、成公差小于零的等差數(shù)列得：x²+y²=33≥x²＞0
從而，所以可求θ的取值范圍．．
解答：解：（1）在RT△BOF₂中，∠BF₂O=60°，計算得：
由，計算得，所以橢圓標準方程為．
（2）設(shè)交點M、N坐標為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
將直線y=kx+2代入橢圓整理得方程，3+4k²）x²+16kx+4=0；
由△＞0得
由MN為直徑的圓過原點得x₁•x₂+y₁•y₂=0，所以x₁•x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=0，計算并檢驗得即為所求．
（3）設(shè)P（x，y），由、、成公差小于零的等差數(shù)列得：x²+y²=33≥x²＞0
所以，所以．
點評：本題主要考查橢圓標準方程的求解，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學生分析解決問題的能力．