Question

已知n是正整數(shù)，在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1，在數(shù)列{b_n}中，b₁=a₁，
當(dāng)n≥2時(shí)，=++…+．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式：
（II）求-的值：
（III）當(dāng)n≥2時(shí)，證明：．

Answer 1

解：（I）∵a_n+1=2a_n+1，
兩邊同加1得，a_n+1+1=2（a_n+1），
∴數(shù)列{a_n+1+1}是以a₁+1=2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．
∴a_n+1=2×2^n-1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1
（II）∵，b₁-a₁=1
∴=-1
∴當(dāng)n=1時(shí)，=-1
當(dāng)n≥2時(shí)，
∵=
∴===
∴=0
綜上所述，當(dāng)n=1時(shí)=-1
當(dāng)n≥2時(shí)=0．
（III）由（II）知：b₁=a₁=1，，即b₂=a₂=3．
當(dāng)n≥2時(shí)，=0，即
∴當(dāng)n≥2時(shí)，
=
=
==2×
=2×（）
=2×（1+）
＞2（1+）
=2[1+]=3-．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，．
分析：（I）將a_n+1=2a_n+1兩端同加上1，整理，構(gòu)造出等差或等比數(shù)列，進(jìn)行解決．
（II）根據(jù)已知寫出的表達(dá)式，再考慮作差．注意對(duì)n=1的討論．
（III）將變形為，除首尾兩項(xiàng)外，中間項(xiàng)根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果，進(jìn)行代換，同時(shí)要注意放縮法在過(guò)程中適時(shí)、適當(dāng)?shù)倪m用．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的定義，通過(guò)對(duì)遞推式變形，構(gòu)造出特殊的數(shù)列來(lái)解決問(wèn)題的能力，計(jì)算能力，以及分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．（I）的兩邊加一個(gè)合適的常數(shù)的方法適用于形如：已知a_n+1=pa_n+q（pq≠0），求a_n．（III）雖的分子分母具有明顯的對(duì)應(yīng)特征，但若把目光放在對(duì)（k=1，2，…，n）的處理上，則使問(wèn)題脫離已經(jīng)挖掘出的新信息（Ⅱ），走向偏離．因此本題同時(shí)要求獲取信息，靈活綜合分析解決問(wèn)題的能力．