設(shè)函數(shù)f(x)=x4+bx2+cx+d,當(dāng)x=t1時(shí),f(x)有極小值,
(1)若b=-6時(shí),函數(shù)f(x)有極大值,求實(shí)數(shù)c的取值范圍;
(2)在(1)的條件下,若存在實(shí)數(shù)c,使函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[m-2,m+2]上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)m的取值范圍; (3)若函數(shù)f(x)只有一個(gè)極值點(diǎn),且存在t2∈(t1,t1+1),使f′(t2)=0,證明:函數(shù)g(x)=f(x)-x2+t1x在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)最多有一個(gè)零點(diǎn).
解:(1)因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111015/201110151056227961181.gif">,
所以h(x)=f′(x)=x3-12x+c,
由題設(shè),方程h(x)=0有三個(gè)互異的實(shí)根,
考察函數(shù),則由h′(x)=0,得x=±2,
,
所以故-16<c<16.
(2)存在c∈(-16,16),使f′(x)≥0,即,
所以,即在區(qū)間[m-2,m+2]上恒成立,
所以[m-2,m+2]是不等式(*)解集的子集,
所以或m-2>2,即-2<m<0,或m>4。
(3)由題設(shè),可得存在α,β∈R,使,
恒成立,
又f′(t2)=0,且在x=t2兩側(cè)同號(hào),所以
另一方面,,
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111015/20111015105623109943.gif">,且,
所以,
所以,
所以,
而x-t1>0,所以g′(x)<0,
所以g(x)在(t1,t2)內(nèi)單調(diào)遞減;
從而g(x)在(t1,t2)內(nèi)最多有一個(gè)零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•棗莊一模)設(shè)函數(shù)f(x)=
x
4
 
-ax(a>0)
的零點(diǎn)都在區(qū)間[0,5]上,則函數(shù)g(x)=
1
x
與函數(shù)h(x)=
x
3
 
-a
的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為正整數(shù)時(shí)實(shí)數(shù)a的取值個(gè)數(shù)為(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=sin(
πx
4
-
π
6
)-2cos2
πx
8
+1

(1)求f(x)的最小正周期.
(2)若函數(shù)y=g(x)與y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,求當(dāng)x∈(0,4)時(shí)y=g(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:江蘇模擬題 題型:解答題

設(shè)函數(shù)f(x)=x4+bx2+cx+d,當(dāng)x=t1時(shí),f(x)有極小值,
(Ⅰ)若b=-6時(shí),函數(shù)f(x)有極大值,求實(shí)數(shù)c的取值范圍;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,若存在c,使函數(shù)f(x)在區(qū)間[m-2,m+2]上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(Ⅲ)若函數(shù)f(x)只有一個(gè)極值點(diǎn),且存在t2∈(t1,t1+1),使f′(t2)=0,證明:函數(shù)g(x)=f(x)-x2+t1x在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)最多有一個(gè)零點(diǎn)。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=x4+ax3+2x2+b(x∈R),其中a,b∈R.

(1)當(dāng)a=時(shí),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(2)若函數(shù)f(x)僅在x=0處有極值,求a的取值范圍;

(3)若對(duì)于任意的a∈[-2,2],不等式f(x)≤1在[-1,1]上恒成立,求b的取值范圍.

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